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円運動・単振動・万有引力の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル高校物理円運動・単振動・万有引力

鉛直に立てた細い回転軸の上に、距離 $L$ だけ離れた 2 点 $A$ , $B$ があり、 $A$ は $B$ の真上にある。長さ $L$ の軽くて伸びない 2 本の糸の一端をそれぞれ $A$ , $B$ に固定し、他端をどちらも質量 $m$ の小球 $P$ に取り付ける。

回転軸を一定の角速度 $ω$ で回転させたところ、2 本の糸がどちらもたるまずに張った状態で、 $P$ は三角形 $ABP$ が正三角形となる位置で水平面内の等速円運動をした。このとき、 $B$ と $P$ を結ぶ糸の張力の大きさを、 $m$ , $g$ , $L$ , $ω$ を用いて表せ。

ただし、重力加速度の大きさを $g$ とし、 $L ω^{2} > 2 g$ とする。空気抵抗と小球の大きさは無視する。

A

B

P

L

L

L

ω

この問題で使うもの

向心力と円運動の運動方程式（説明と入口の問題）
力の分解と質点のつり合い（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（51 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

小球にはたらく力は、重力と 2 本の糸の張力である。鉛直方向はつりあい、水平方向の合力が向心力になる。

ヒント 2

正三角形なので、どちらの糸も鉛直方向と $6 0^{\circ}$ をなし、円運動の半径は $\frac{3}{2} L$ である。

ヒント 3

張力を $T_{1}$ （上の糸）、 $T_{2}$ （下の糸）とおくと、鉛直方向から $T_{1} - T_{2} = 2 m g$ 、水平方向から $T_{1} + T_{2} = m L ω^{2}$ が得られる。

答えと解説

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\frac{m ( L ω ^{2} - 2 g )}{2}

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(1) 円運動の半径と糸の向き

三角形 $ABP$ は 1 辺 $L$ の正三角形なので、 $P$ は $A$ と $B$ の中点と同じ高さにあり、回転軸からの距離（円運動の半径）は
$r = L sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2} L$
である。糸 $PA$ は鉛直上向きから $6 0^{\circ}$ 傾いた向きに、糸 $PB$ は鉛直下向きから $6 0^{\circ}$ 傾いた向きに、それぞれ $P$ を引く。どちらの糸の水平成分も回転軸の向き（円の中心向き）である。

(2) 運動方程式とつりあい

糸 $PA$ , $PB$ の張力の大きさを $T_{1}$ , $T_{2}$ とする。 $P$ は水平面内で等速円運動をするので、鉛直方向の力はつりあい、水平方向の合力が向心力となる。

鉛直方向（つりあい）:
$T_{1} cos 6 0^{\circ} - T_{2} cos 6 0^{\circ} - m g = 0 よって T_{1} - T_{2} = 2 m g (1)$

水平方向（中心向きの運動方程式）:
$m r ω^{2} = T_{1} sin 6 0^{\circ} + T_{2} sin 6 0^{\circ}$
$m \cdot \frac{3}{2} L ω^{2} = \frac{3}{2} (T_{1} + T_{2}) よって T_{1} + T_{2} = m L ω^{2} (2)$

(3) $T_{2}$ を求める

$(2) - (1)$ より
$2 T_{2} = m L ω^{2} - 2 m g$
$T_{2} = \frac{m ( L ω ^{2} - 2 g )}{2}$

$L ω^{2} > 2 g$ なので $T_{2} > 0$ となり、糸 $PB$ がたるまないことと合っている。

別解

三角形 ABP は 1 辺 $L$ の正三角形。P から回転軸までの距離（円運動の半径）は正三角形の高さ $r = \frac{3}{2} L$ 。P の高さは A と B のちょうど中間。

P から見て、糸 PA は水平から $3 0^{\circ}$ 上向き（軸向き）、糸 PB は水平から $3 0^{\circ}$ 下向き（軸向き）。A 側の糸の張力を $T_{A}$ 、B 側の糸の張力を $T_{B}$ とする。

鉛直方向のつり合い:
$T_{A} sin 3 0^{\circ} - T_{B} sin 3 0^{\circ} - m g = 0$
$T_{A} - T_{B} = 2 m g$ ……①

水平方向（軸向きが向心方向）の運動方程式:
$(T_{A} + T_{B}) cos 3 0^{\circ} = m r ω^{2} = m \cdot \frac{3}{2} L ω^{2}$
$(T_{A} + T_{B}) \cdot \frac{3}{2} = m \cdot \frac{3}{2} L ω^{2}$
$T_{A} + T_{B} = m L ω^{2}$ ……②

②−① より $2 T_{B} = m L ω^{2} - 2 m g$
$T_{B} = \frac{m ( L ω ^{2} - 2 g )}{2}$

検算: $T_{A} = \frac{m ( L ω ^{2} + 2 g )}{2}$ で ①: $T_{A} - T_{B} = 2 m g$ 、②: $T_{A} + T_{B} = m L ω^{2}$ を満たす。 $L ω^{2} > 2 g$ より $T_{B} > 0$ で、糸がたるまない条件と一致する。

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