円運動・単振動・万有引力の問題

鉛直に立てた細い回転軸の上に、距離 $L$ だけ離れた 2 点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ があり、$\mathrm{A}$ は $\mathrm{B}$ の真上にある。長さ $L$ の軽くて伸びない 2 本の糸の一端をそれぞれ $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ に固定し、他端をどちらも質量 $m$ の小球 $\mathrm{P}$ に取り付ける。

回転軸を一定の角速度 $\omega$ で回転させたところ、2 本の糸がどちらもたるまずに張った状態で、$\mathrm{P}$ は三角形 $\mathrm{ABP}$ が正三角形となる位置で水平面内の等速円運動をした。このとき、$\mathrm{B}$ と $\mathrm{P}$ を結ぶ糸の張力の大きさを、$m$, $g$, $L$, $\omega$ を用いて表せ。

ただし、重力加速度の大きさを $g$ とし、$L{\omega }^2>2g$ とする。空気抵抗と小球の大きさは無視する。

水平な床の上に、ばね定数 $k$ の軽いばねを鉛直に立て、下端を床に固定する。ばねの上端には質量の無視できる薄い板が取り付けてあり、ばねは自然の長さになっている。

板の真上、板から高さ $h$ の位置から、質量 $m$ の小球を静かにはなした。小球は板に当たったあと、板から離れずにばねを縮めながら運動した。小球が板に接しているあいだ、小球は単振動の一部の運動をする。ばねの縮みの最大値を、$m$, $g$, $h$, $k$ を用いて表せ。

ただし、重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗と小球の大きさは無視する。小球と板の衝突でエネルギーは失われず、ばねは鉛直方向にだけ伸び縮みするものとする。

なめらかな水平な床の上に、ばね定数 $k$ の軽いばねを水平に置き、左端を鉛直な壁に固定し、右端に質量 $m$ の小物体を取り付ける。ばねが自然の長さのときの小物体の位置を $\mathrm{O}$ とし、$\mathrm{O}$ から右へ距離 $d$ の位置に、床に垂直な固い板 $\mathrm{W}$ を固定する。小物体はばねの方向（左右の方向）にだけ動くものとする。

小物体を $\mathrm{O}$ から左へ $2d$ の位置まで動かし（ばねは $2d$ 縮む）、静かにはなした。小物体は右へ動いて板 $\mathrm{W}$ に弾性衝突し、はね返った。その後、小物体は板 $\mathrm{W}$ との弾性衝突をくり返しながら、同じ運動を周期的にくり返した。

この周期的な運動の周期を、$m$, $k$ を用いて表せ。ただし、小物体の大きさ、空気抵抗は無視し、衝突にかかる時間は無視できるものとする。

頂点 $\mathrm{V}$ を下に向け、中心軸を鉛直にして置かれた円錐形の容器がある。容器の内面（円錐面）を中心軸を含む鉛直な平面で切ると、内面の線は水平面と角 $\theta$ をなし、$\tan \theta =\frac{3}{4}$ である。この容器は中心軸のまわりに一定の角速度で回転させることができる。

容器の内面上の、中心軸からの距離が $r$ の点 $\mathrm{P}$ に、大きさの無視できる小物体を置く。小物体と内面のあいだの静止摩擦係数は $\frac{1}{2}$ である。容器を一定の角速度 $\omega$ で回転させたところ、小物体は内面に対してすべらずに $\mathrm{P}$ にとどまり、容器と一緒に半径 $r$ の等速円運動をした。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。

小物体が内面に対してすべらずに $\mathrm{P}$ にとどまることができる $\omega$ の最大値を、$g$, $r$ を用いて表せ。

長さ $L$ の軽くて変形しない細い棒の一端を点 $\mathrm{O}$ に取り付け、棒が $\mathrm{O}$ を中心として鉛直面内でなめらかに回転できるようにする。棒の他端には質量 $m$ の小球を固定する。小球が $\mathrm{O}$ の真下の最下点にあるとき、小球に水平方向の速さ $\sqrt{\frac{9}{2}gL}$ を与えたところ、小球は鉛直面内で円運動をして、$\mathrm{O}$ の真上の最高点を通過した。

小球が最高点を通過する瞬間に、棒が小球に及ぼす力の大きさを、$m$ と $g$ を用いて表せ。ただし、重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗と回転軸での摩擦は無視する。