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円運動・単振動・万有引力の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル高校物理円運動・単振動・万有引力

長さ $L$ の軽くて伸びない糸の一端を点 $O$ に固定し、他端に質量 $m$ の小球を取り付けて、小球を $O$ の真下の点 $A$ に静止させた。この小球に、 $A$ で水平方向に速さ $v_{0}$ を与えたところ、小球は糸がたるむことなく、 $O$ を中心とする鉛直面内の円運動をして、 $O$ の真上の点 $B$ （円の最高点）を通過した。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。

小球が $B$ を通過する瞬間の、糸が小球を引く力（張力）の大きさを、 $m$ , $g$ , $L$ , $v_{0}$ を用いて表せ。

O

A

B

L

v_{0}

m

この問題で使うもの

鉛直面内の円運動の張力・垂直抗力（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（59 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず B での小球の速さを求め、次に B で円の中心向きの運動方程式を立てます。

ヒント 2

張力は速度と垂直なので仕事をせず、力学的エネルギーが保存します。B での運動方程式は、中心向きにはたらく力の和が $m \frac{v ^{2}}{L}$ に等しいという式です。

ヒント 3

力学的エネルギー保存から $v^{2} = v_{0}^{2} - 4 g L$ 。B では重力と張力 $T$ がともに中心向きなので $m \frac{v ^{2}}{L} = T + m g$ となります。

答えと解説

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\frac{m v _{0}^{2}}{L} - 5 m g

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解説を読む

B での速さを求める

小球にはたらく力は重力と糸の張力である。張力は常に糸の向き、つまり円の中心 $O$ の向きにはたらき、小球の速度（円の接線方向）と垂直なので、仕事をしない。空気抵抗も無視するので、小球の力学的エネルギーは保存する。

$B$ は $A$ より $2 L$ だけ高い。 $B$ での速さを $v$ とすると、 $A$ を高さの基準として
$\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = \frac{1}{2} m v^{2} + m g \cdot 2 L$
よって
$v^{2} = v_{0}^{2} - 4 g L$

B での運動方程式（中心方向）

$B$ では、重力 $m g$ も張力 $T$ もどちらも鉛直下向き、すなわち円の中心 $O$ の向きにはたらく。半径 $L$ 、速さ $v$ の円運動の向心加速度の大きさは $\frac{v ^{2}}{L}$ なので、中心向きの運動方程式は
$m \frac{v ^{2}}{L} = T + m g$
これに $v^{2} = v_{0}^{2} - 4 g L$ を代入すると
$T = \frac{m ( v _{0}^{2} - 4 g L )}{L} - m g = \frac{m v _{0}^{2}}{L} - 4 m g - m g = \frac{m v _{0}^{2}}{L} - 5 m g$

（糸がたるまずに $B$ を通過したので $T ≧ 0$ 、つまり $v_{0}^{2} ≧ 5 g L$ が成り立っている。）

したがって、張力の大きさは $\frac{m v _{0}^{2}}{L} - 5 m g$ である。

別解

B での速さを $v_{B}$ とする。張力は運動方向に垂直で仕事をしないので、力学的エネルギー保存より $\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = \frac{1}{2} m v_{B}^{2} + m g \cdot 2 L$ 、 $v_{B}^{2} = v_{0}^{2} - 4 g L$ 。\n\nB での円運動の運動方程式（中心 O に向かう下向きを正）: 糸の張力 $T$ は下向き（O の向き）、重力 $m g$ も下向きなので $T + m g = m \frac{v _{B}^{2}}{L}$ 。\n\n $T = m \frac{v _{0}^{2} - 4 g L}{L} - m g = \frac{m v _{0}^{2}}{L} - 4 m g - m g = \frac{m v _{0}^{2}}{L} - 5 m g$ 。\n\n検算: B を通過できる条件は $T \geq 0$ すなわち $v_{0}^{2} \geq 5 g L$ （最高点の最小の速さ $v_{B}^{2} = g L$ に対応）で、 $v_{0}^{2} = 5 g L$ のとき $T = 0$ となり、 $v_{B}^{2} = g L$ と一致する。

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