円運動・単振動・万有引力の問題

長さ $L$ の軽くて伸びない糸の一端を点 $\mathrm{O}$ に固定し、他端に質量 $m$ の小球をつける。糸をたるませずに、糸が鉛直下向きと $60^{\circ }$ をなす位置 $\mathrm{A}$ まで小球を持ち上げ、静かにはなした。小球は $\mathrm{O}$ を中心とする半径 $L$ の円周にそって、鉛直面内を運動した。

重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。小球が最下点 $\mathrm{B}$（$\mathrm{O}$ の真下）を通過する瞬間の、糸の張力の大きさを $m$, $g$ を用いて表せ。

長さ $L$ の軽くて伸びない糸の一端を点 $\mathrm{O}$ に固定し、他端に質量 $m$ の小球を付ける。糸がたるまないようにして、糸が水平になる位置 $\mathrm{A}$ まで小球を持ち上げ、静かにはなしたところ、小球は $\mathrm{O}$ を中心とする鉛直面内の円周上を運動した。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。

糸が鉛直下向きと $60^{\circ }$ の角をなす位置 $\mathrm{B}$（$\mathrm{O}$ より下で、$\mathrm{A}$ と同じ側）を小球が通過する瞬間の、糸の張力の大きさを $m$, $g$ を用いて表せ。

長さ $L$ の軽くて伸びない糸の一端を点 $\mathrm{O}$ に固定し、他端に質量 $m$ の小球を取り付ける。糸がたるまないように、小球を $\mathrm{O}$ と同じ高さの点 $\mathrm{A}$ まで持ち上げ（糸は水平）、静かにはなした。小球は $\mathrm{O}$ を中心とする鉛直面内の円運動をして、$\mathrm{O}$ の真下の最下点 $\mathrm{B}$ を通過した。

小球が $\mathrm{B}$ を通過するときの糸の張力の大きさを、$m$ と重力加速度の大きさ $g$ を用いて表せ。ただし、空気抵抗は無視し、小球の大きさは無視できるものとする。

長さ $l$ の軽くて伸びない糸の一端を点 $\mathrm{O}$ に固定し、他端に質量 $m$ の小球をつける。小球は、$\mathrm{O}$ の真下の点 $\mathrm{A}$ に糸が張った状態で静止している。$\mathrm{O}$ の真上で $\mathrm{O}$ から距離 $l$ の点を $\mathrm{B}$ とする。

$\mathrm{A}$ にある小球に水平方向の速さ $v_0$ を与えたところ、小球は $\mathrm{O}$ を中心とする半径 $l$ の円にそって鉛直面内で運動を始めた。糸がたるむことなく小球が $\mathrm{B}$ を通過するための $v_0$ の最小値を、$g$, $l$ を用いて表せ。ただし、重力加速度の大きさを $g$ とし、小球の大きさと空気抵抗は無視する。

長さ $L$ の軽くて伸びない糸の一端を点 $\mathrm{O}$ に固定し、他端に質量 $m$ の小球を取り付けて、小球を $\mathrm{O}$ の真下の点 $\mathrm{A}$ に静止させた。この小球に、$\mathrm{A}$ で水平方向に速さ $v_0$ を与えたところ、小球は糸がたるむことなく、$\mathrm{O}$ を中心とする鉛直面内の円運動をして、$\mathrm{O}$ の真上の点 $\mathrm{B}$（円の最高点）を通過した。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。

小球が $\mathrm{B}$ を通過する瞬間の、糸が小球を引く力（張力）の大きさを、$m$, $g$, $L$, $v_0$ を用いて表せ。