鉛直面内の円運動の張力・垂直抗力

糸・棒・円筒面にそって鉛直面内で円運動する小球について、力学的エネルギー保存則でその位置の速さを求め、中心方向の運動方程式 $m \frac{v ^{2}}{r} = T - m g cos θ$ などから糸の張力・面の垂直抗力・棒が及ぼす力（押す向きか引く向きかを含む）を求められる

前提

向心力と円運動の運動方程式（高校物理円運動・単振動・万有引力）
力学的エネルギー保存則（高校物理仕事・エネルギーと運動量）

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算数中学高校大学大学院

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説明

糸につるした小球や、円筒面の内側をすべる小球のように、鉛直面内で円を描いて運動する物体について、ある位置での糸の張力や面の垂直抗力を求められるようになります。棒の先の小球なら、棒が小球を引いているのか押しているのかも判定できます。さらに、糸がたるまずに最高点まで回れるか、小球が面から離れないか、といった判定にも使えます。

なぜそうしてよいのか

鉛直面内の円運動では、小球が上がると重力に逆らって遅くなり、下がると速くなります。つまり等速ではありません。それでも、小球の加速度は2つの成分に分けて考えられます。1つは速度の向き（円の接線方向）の成分で、速さを変えます。もう1つは中心向きの成分で、速度の向きを変えます。ある瞬間の速度の向きの変わり方は、その瞬間の速さ $v$ で半径 $r$ の等速円運動をしているときと同じです。そのため、中心向きの加速度の大きさはその瞬間でも $\frac{v ^{2}}{r}$ です。したがって中心方向については、水平面内の等速円運動と同じように $m \frac{v ^{2}}{r} = (中心向きの力の合計)$ が成り立ちます。

この式を使うには、その位置での速さ $v$ が必要です。糸の張力や面の垂直抗力は、いつも円の中心を通る直線に沿ってはたらき、速度（接線方向）と垂直です。そのため仕事をしません。空気抵抗や摩擦がなければ仕事をするのは重力だけなので、力学的エネルギー保存則 $\frac{1}{2} m v^{2} + m g h = 一定$ から $v$ を求められます。

最下点から中心まわりに角 $θ$ だけ回った位置を考えます。この位置の最下点からの高さは $h = r (1 - cos θ)$ です。また、重力 $m g$ を中心向きとそれに垂直な向きに分解すると、中心向きの成分は $- m g cos θ$ になります。最下点（ $θ = 0$ ）では中心と反対向きに $m g$ 、最高点（ $θ = π$ ）では中心向きに $m g$ です。この2つの道具を組み合わせれば、張力や垂直抗力が求まります。

手順

求めたい位置を決め、基準点（ふつう最下点）からの高さを表す。最下点から角 $θ$ 回った位置なら $h = r (1 - cos θ)$ 。
力学的エネルギー保存則で、その位置の速さの2乗 $v^{2}$ を求める。例: $\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = \frac{1}{2} m v^{2} + m g r (1 - cos θ)$ 。張力・垂直抗力は仕事をしないので、式に入れなくてよい。
その位置で小球にはたらく力をすべて描き、円の中心向きを正として各力の成分を書く。最下点から $θ$ の位置では、重力の成分は $- m g cos θ$ 、糸の張力 $T$ は $+ T$ になる。円筒面の内側を運動する場合の垂直抗力 $N$ も $+ N$ になる。
中心方向の運動方程式 $m \frac{v ^{2}}{r} = (中心向きの力の合計)$ を立てる。例: $m \frac{v ^{2}}{r} = T - m g cos θ$ 。これを解いて張力や垂直抗力を求める。
結果の符号を確かめる。糸の張力と面の垂直抗力は $0$ 以上でなければならない。負になる位置では、それより前に糸がたるむか、小球が面から離れている。棒の場合は、中心向きを正として値が正なら棒は小球を引き、負なら押している。

例題

長さ $L$ の軽くて伸びない糸の一端を点 O に固定し、他端に質量 $m$ の小球をつける。小球を O の真下の最下点に置き、水平に速さ $6 g L$ で打ち出した。すると小球は、糸がたるむことなく O を中心とする鉛直面内の円運動をした。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。小球が最高点（O の真上）を通過するときの、糸の張力の大きさを求めよ。

例題の解答

【手順1】最高点は最下点から $θ = π$ 回った位置です。最下点からの高さは $h = L (1 - cos π) = 2 L$ です。
【手順2】最高点での速さを $v$ とします。力学的エネルギー保存則より $\frac{1}{2} m \cdot 6 g L = \frac{1}{2} m v^{2} + m g \cdot 2 L$ です。整理すると $v^{2} = 6 g L - 4 g L = 2 g L$ になります。
【手順3】最高点で小球にはたらく力は、重力 $m g$ （鉛直下向き）と糸の張力 $T$ （小球から O へ向かう向き、つまり鉛直下向き）です。中心 O は小球の真下にあるので、どちらも中心向きです。中心向きを正とすると、重力は $+ m g$ 、張力は $+ T$ です。
【手順4】中心方向の運動方程式は $m \frac{v ^{2}}{L} = T + m g$ です。 $v^{2} = 2 g L$ を代入すると $m \cdot \frac{2 g L}{L} = T + m g$ より $T = 2 m g - m g = m g$ となります。
【手順5】 $T = m g > 0$ なので、最高点でも糸は張っており、問題の設定と矛盾しません。よって張力の大きさは $m g$ です。

答え: $m g$

よくある誤り

最高点で、重力を中心と反対向きと考えて $m \frac{v ^{2}}{r} = T - m g$ としてしまう誤り。正しくは、最高点では重力も張力も中心（真下）を向くので $m \frac{v ^{2}}{r} = T + m g$ 。一般には、最下点から $θ$ の位置で $m \frac{v ^{2}}{r} = T - m g cos θ$ となる。
最下点から $θ$ 回った位置の高さを $r cos θ$ や $r sin θ$ としてしまう誤り。正しくは、中心は最下点より $r$ 高く、その位置は中心より $r cos θ$ 低いので $h = r - r cos θ = r (1 - cos θ)$ 。
$m \frac{v ^{2}}{r}$ を「向心力」という別の力と考え、力の一覧に加えて $T - m g cos θ + m \frac{v ^{2}}{r} = 0$ のように書いてしまう誤り。正しくは、 $m \frac{v ^{2}}{r}$ は「質量×中心向きの加速度」であり、運動方程式の左辺に置く。右辺には実際にはたらく力（張力・重力・垂直抗力）だけを書き、 $m \frac{v ^{2}}{r} = T - m g cos θ$ とする。
計算で $T < 0$ や $N < 0$ が出ても、そのまま答えにしてしまう誤り。糸や面は引く・押すの一方向にしか力を及ぼせないので、 $T ≧ 0$ 、 $N ≧ 0$ が必要である。例えば糸の小球が最高点まで回るには、最高点で $T = m \frac{v ^{2}}{r} - m g ≧ 0$ 、すなわち $v^{2} ≧ g r$ でなければならない。負になるのは棒の場合だけで、そのときは棒が小球を押していることを表す。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

面から離れる条件・糸がたるむ条件（高校物理円運動・単振動・万有引力）