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円運動・単振動・万有引力の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル高校物理円運動・単振動・万有引力

道路の一部が、鉛直面内で上に凸の円弧になっている。この円弧の中心を $O$ 、半径を $40 m$ とし、円弧の最高点を $P$ とする（ $P$ は $O$ の真上にある）。

自動車がこの道路を一定の速さで走り、 $P$ を通過した。 $P$ を通過するとき、自動車が道路から受ける垂直抗力の大きさは、自動車にはたらく重力の大きさのちょうど半分であった。このときの自動車の速さは何 m/s か。有効数字 2 桁で求めよ。

ただし、自動車は大きさの無視できる物体とみなし、重力加速度の大きさを $9.8 m/s^{2}$ とする。

O

P

40 m

この問題で使うもの

鉛直面内の円運動の張力・垂直抗力（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（59 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$P$ では、重力と垂直抗力の合力が円の中心向きの向心力になっている。

ヒント 2

中心 $O$ は $P$ の真下なので、中心向きの運動方程式は $m \frac{v ^{2}}{r} = m g - N$ となる。

ヒント 3

$N = \frac{1}{2} m g$ を代入すると $\frac{v ^{2}}{r} = \frac{1}{2} g$ となる。

答えと解説

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14

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解説を読む

自動車の質量を $m$ 、 $P$ での速さを $v$ 、円弧の半径を $r = 40 m$ とする。

力と向心力

$P$ を通過するとき、自動車は半径 $r$ の円運動の一部をしている。 $P$ では、自動車にはたらく鉛直方向の力は、鉛直下向きの重力 $m g$ と、鉛直上向きの垂直抗力 $N$ である。円の中心 $O$ は $P$ の真下にあるので、中心向き（下向き）の運動方程式は
$m \frac{v ^{2}}{r} = m g - N$

計算

$N = \frac{1}{2} m g$ を代入すると
$m \frac{v ^{2}}{r} = m g - \frac{1}{2} m g = \frac{1}{2} m g$
$v^{2} = \frac{1}{2} g r = \frac{1}{2} \times 9.8 \times 40 = 196$
$v = 14 m/s$

質量 $m$ は両辺で消えるので、答えは自動車の質量によらない。

別解

最高点 P では、自動車は半径 $r = 40 m$ の円運動をしており、向心方向は鉛直下向き（O の向き）。重力 $m g$ は下向き、垂直抗力 $N$ は上向き。

運動方程式（下向きを正）:
$m g - N = m \frac{v ^{2}}{r}$

$N = \frac{1}{2} m g$ を代入して
$m g - \frac{1}{2} m g = m \frac{v ^{2}}{r}$
$\frac{1}{2} g = \frac{v ^{2}}{r}$
$v^{2} = \frac{g r}{2} = \frac{9.8 \times 40}{2} = 196$
$v = 14 m/s$

検算: $v = 14$ のとき $m \frac{v ^{2}}{r} = m \cdot \frac{196}{40} = 4.9 m$ 、 $m g - N = 9.8 m - 4.9 m = 4.9 m$ となり、 $N = 4.9 m = \frac{1}{2} m g$ で条件と一致。

有効数字 2 桁で $14$ m/s。

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