円運動・単振動・万有引力の問題

水平な床の上に、半径 $r$ のなめらかな半球面が、球面を上にして固定されている。半球の中心を $\mathrm{O}$、半球面の最高点を $\mathrm{P}$ とする。質量 $m$ の小球を $\mathrm{P}$ に置き、水平方向に速さ $\sqrt{\frac{gr}{2}}$ を与えたところ、小球は半球面にそって鉛直面内ですべり下り、半球面上の点 $\mathrm{Q}$ で面から離れた。$\angle \mathrm{POQ}=\theta$ とするとき、$\cos \theta$ の値を求めよ。ただし、重力加速度の大きさを $g$ とし、小球の大きさと空気抵抗は無視する。

水平な床の上に、半径 $r$ のなめらかな半球が、平面の側を下にして固定されている。半球の中心を $\mathrm{O}$、半球面の最高点を $\mathrm{A}$ とする。質量 $m$ の小球を点 $\mathrm{A}$ に置き、水平方向に速さ $v_0=\frac{1}{2}\sqrt{gr}$ を与えたところ、小球は半球面にそってすべり下り、やがて半球面から離れた。小球が半球面から離れる点を $\mathrm{P}$ とし、$\angle \mathrm{AOP}=\theta$ とするとき、$\cos \theta$ の値を求めよ。ただし、重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。小球の大きさは無視でき、小球は $\mathrm{O}$ と $\mathrm{A}$ を含む鉛直面内で運動するものとする。

長さ $l$ の軽くて伸びない糸の一端を点 $\mathrm{O}$ に固定し、他端に質量 $m$ の小球をつける。小球は、$\mathrm{O}$ の真下の点 $\mathrm{A}$ に糸が張った状態で静止している。$\mathrm{O}$ の真上で $\mathrm{O}$ から距離 $l$ の点を $\mathrm{B}$ とする。

$\mathrm{A}$ にある小球に水平方向の速さ $v_0$ を与えたところ、小球は $\mathrm{O}$ を中心とする半径 $l$ の円にそって鉛直面内で運動を始めた。糸がたるむことなく小球が $\mathrm{B}$ を通過するための $v_0$ の最小値を、$g$, $l$ を用いて表せ。ただし、重力加速度の大きさを $g$ とし、小球の大きさと空気抵抗は無視する。

道路の一部が、鉛直面内で上に凸の円弧になっている。この円弧の中心を $\mathrm{O}$、半径を $40\text{m}$ とし、円弧の最高点を $\mathrm{P}$ とする（$\mathrm{P}$ は $\mathrm{O}$ の真上にある）。

自動車がこの道路を一定の速さで走り、$\mathrm{P}$ を通過した。$\mathrm{P}$ を通過するとき、自動車が道路から受ける垂直抗力の大きさは、自動車にはたらく重力の大きさのちょうど半分であった。このときの自動車の速さは何 m/s か。有効数字 2 桁で求めよ。

ただし、自動車は大きさの無視できる物体とみなし、重力加速度の大きさを $9.8{\text{m/s}}^2$ とする。

長さ $L$ の軽くて伸びない糸の一端を点 $\mathrm{O}$ に固定し、他端に質量 $m$ の小球をつける。糸をたるませずに、糸が鉛直下向きと $60^{\circ }$ をなす位置 $\mathrm{A}$ まで小球を持ち上げ、静かにはなした。小球は $\mathrm{O}$ を中心とする半径 $L$ の円周にそって、鉛直面内を運動した。

重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。小球が最下点 $\mathrm{B}$（$\mathrm{O}$ の真下）を通過する瞬間の、糸の張力の大きさを $m$, $g$ を用いて表せ。