円運動・単振動・万有引力の問題

難易度 1教科書の例題レベル高校物理円運動・単振動・万有引力

水平な床の上に、半径 $r$ のなめらかな半球が、平面の側を下にして固定されている。半球の中心を $O$ 、半球面の最高点を $A$ とする。質量 $m$ の小球を点 $A$ に置き、水平方向に速さ $v_{0} = \frac{1}{2} g r$ を与えたところ、小球は半球面にそってすべり下り、やがて半球面から離れた。小球が半球面から離れる点を $P$ とし、 $∠ AOP = θ$ とするとき、 $cos θ$ の値を求めよ。ただし、重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。小球の大きさは無視でき、小球は $O$ と $A$ を含む鉛直面内で運動するものとする。

O

A

P

v_{0}

r

θ

点 P の位置（

θ

）は一例

この問題で使うもの

面から離れる条件・糸がたるむ条件（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（60 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

「面から離れる条件」を使う問題です。小球が半球面から離れる瞬間は、垂直抗力が $0$ になる瞬間です。速さは力学的エネルギー保存則で、垂直抗力は中心方向の運動方程式で表します。

ヒント 2

角 $θ$ の位置での速さを $v$ とすると、エネルギー保存則は $\frac{1}{2} m v_{0}^{2} + m g r (1 - cos θ) = \frac{1}{2} m v^{2}$ 、中心方向の運動方程式は $m \frac{v ^{2}}{r} = m g cos θ - N$ です。

ヒント 3

$N = 0$ とおくと $v^{2} = g r cos θ$ となります。これをエネルギー保存則の式 $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 g r (1 - cos θ)$ に代入して整理すると $3 g r cos θ = v_{0}^{2} + 2 g r$ となります。

答えと解説

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\frac{3}{4}

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解説を読む

1. 点 P での速さを力学的エネルギー保存則で求める

半球面はなめらかなので摩擦力ははたらかず、垂直抗力はつねに運動の向き（接線方向）と垂直なので仕事をしない。仕事をするのは保存力である重力だけなので、力学的エネルギーが保存する。

$∠ AOP = θ$ の位置は、点 $A$ より $r - r cos θ = r (1 - cos θ)$ だけ低い。その位置での速さを $v$ とすると
$\frac{1}{2} m v_{0}^{2} + m g r (1 - cos θ) = \frac{1}{2} m v^{2}$
より
$v^{2} = v_{0}^{2} + 2 g r (1 - cos θ) (1)$

2. 中心方向の運動方程式を立てる

小球は半径 $r$ の円運動をしている。小球にはたらく力は重力 $m g$ と垂直抗力 $N$ （中心から外向き）である。中心 $O$ 向きを正とすると、重力の中心向きの成分は $m g cos θ$ なので
$m \frac{v ^{2}}{r} = m g cos θ - N (2)$

3. 面から離れる条件 $N = 0$ を使う

小球が面から離れるのは、垂直抗力が $0$ になるときである。 $(2)$ で $N = 0$ とおくと
$v^{2} = g r cos θ (3)$

4. 連立して $cos θ$ を求める

$(1)$ , $(3)$ より
$g r cos θ = v_{0}^{2} + 2 g r - 2 g r cos θ$
$3 g r cos θ = v_{0}^{2} + 2 g r$
ここで $v_{0}^{2} = \frac{1}{4} g r$ なので
$3 g r cos θ = \frac{1}{4} g r + 2 g r = \frac{9}{4} g r$
$cos θ = \frac{3}{4}$

なお、点 $A$ では $(2)$ より $N = m g - m \frac{v _{0}^{2}}{r} = \frac{3}{4} m g > 0$ なので、小球は最初は面にそって運動しており、題意に合う。

答え: $cos θ = \frac{3}{4}$

別解

点Aから角度 $θ$ だけ下がった位置での小球の速さを $v$ とする。

力学的エネルギー保存より
$\frac{1}{2} m v_{0}^{2} + m g r = \frac{1}{2} m v^{2} + m g r cos θ$
よって $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 g r (1 - cos θ)$ 。

中心方向（Oに向かう向き）の運動方程式は、垂直抗力を $N$ として
$m \frac{v ^{2}}{r} = m g cos θ - N$ 。

離れる条件は $N = 0$ なので $v^{2} = g r cos θ$ 。

これをエネルギー保存の式に代入すると
$g r cos θ = v_{0}^{2} + 2 g r - 2 g r cos θ$
よって $3 g r cos θ = v_{0}^{2} + 2 g r$ 、すなわち $cos θ = \frac{v _{0}^{2} + 2 g r}{3 g r}$ 。

$v_{0}^{2} = \frac{1}{4} g r$ を代入すると
$cos θ = \frac{\frac{1}{4} + 2}{3} = \frac{9/4}{3} = \frac{3}{4}$ 。

検算： $cos θ = \frac{3}{4}$ のとき $v^{2} = \frac{1}{4} g r + 2 g r \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4} g r$ となり、 $g r cos θ = \frac{3}{4} g r$ と一致する。

また、A の初めの状態で $v_{0}^{2} = \frac{1}{4} g r < g r$ なので、最高点では半球面に接したまま動き出す（ $N > 0$ ）。したがって、すべり下りるという条件に合う。

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