面から離れる条件・糸がたるむ条件

鉛直面内の円運動で、垂直抗力または張力が $0$ になる条件（例: 最高点で $v \geq g r$ ）を使い、小球が円筒面・半球面から離れる位置（高さや $cos θ$ ）や、最高点まで回りきるための初速の最小値を求められる

前提

鉛直面内の円運動の張力・垂直抗力（高校物理円運動・単振動・万有引力）

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算数中学高校大学大学院

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鉛直面内の円運動の張力・垂直抗力（高校物理円運動・単振動・万有引力）

説明

糸や面にそって鉛直面内で円運動する小球が、途中で面から離れたり糸がたるんだりする位置や条件を求める技能です。面は物体を押すことしかできず、糸は引くことしかできません。そのため、垂直抗力や張力が $0$ になったところで円運動が続かなくなります。この考え方で、半球面の上をすべる小球が面から離れる位置（ $cos θ$ や高さ）や、糸につけた小球が最高点まで回りきるための最下点での初速の最小値を求めます。

なぜそうしてよいのか

面が物体に及ぼす垂直抗力 $N$ は、物体を押す向きにしかはたらかないので、接している間はいつも $N \geq 0$ です。糸の張力 $T$ も引く向きにしかはたらかないので、糸が張っている間は $T \geq 0$ です。前提の技能で求めた $N$ や $T$ の式が負になる位置へは、円運動のままでは進めません。式の値が $0$ になったところで、小球は面から離れるか、糸がたるみます。そこから先は重力だけを受けて放物運動をします。

なめらかな半球面の外側をすべる小球を例にとります。鉛直上向きの線から角 $θ$ の位置で、中心向きの運動方程式は $m \frac{v ^{2}}{r} = m g cos θ - N$ です。円運動を続けるのに必要な中心向きの力 $m \frac{v ^{2}}{r}$ は、すべり下りて速くなるほど大きくなります。一方、重力の中心向き成分 $m g cos θ$ は小さくなっていきます。 $N$ はその差 $N = m g cos θ - m \frac{v ^{2}}{r}$ を受け持ちますが、負にはなれません。したがって、 $m g cos θ = m \frac{v ^{2}}{r}$ となる位置、つまり $N = 0$ の位置で面から離れます。

次に、長さ $r$ の糸につけた小球を、最下点で速さ $v_{0}$ で動かし始める場合を考えます。最下点から角 $θ$ だけ回った位置は、最下点より $r (1 - cos θ)$ 高くなっています。力学的エネルギー保存則から $v^{2} = v_{0}^{2} - 2 g r (1 - cos θ)$ です。中心向きの運動方程式は $m \frac{v ^{2}}{r} = T - m g cos θ$ なので、 $v^{2}$ を代入すると次のようになります。
$T = \frac{m v _{0}^{2}}{r} - 2 m g + 3 m g cos θ$
この式で $T$ がいちばん小さくなるのは $cos θ = - 1$ 、つまり最高点（ $θ = π$ ）です。最高点で $T \geq 0$ なら、途中のどこでも $T > 0$ で糸は張ったままです。最高点では $m \frac{v ^{2}}{r} = T + m g$ なので、 $T \geq 0$ は $v^{2} \geq g r$ 、つまり $v \geq g r$ と同じ条件です。

これを初速の条件に直すには、最下点と最高点（高さの差 $2 r$ ）で力学的エネルギー保存則を使います。
$\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = \frac{1}{2} m v^{2} + m g \cdot 2 r より v_{0}^{2} = v^{2} + 4 g r$
ここに $v^{2} \geq g r$ を用いると $v_{0}^{2} \geq 5 g r$ です。よって初速の最小値は $v_{0} = 5 g r$ となります。これは上の $T$ の式で $θ = π$ とおいた $T = \frac{m v _{0}^{2}}{r} - 5 m g \geq 0$ からも同じ結果が出ます。

比べるために、糸の代わりに軽い棒を使う場合を考えます。棒は小球を押すこともできるので、力の符号に制限はありません。条件は、最高点に達するまで速さが $0$ にならないことだけです。最高点で $v^{2} = v_{0}^{2} - 4 g r > 0$ から $v_{0} > 2 g r$ となります。 $v_{0} = 2 g r$ がその境目で、このときはちょうど最高点で速さが $0$ になります。

手順

小球の位置を、円の中心から見た角 $θ$ で表す（鉛直上向き・下向きのどちらの線から測るかを決める）。力学的エネルギー保存則で、その位置の $v^{2}$ を $θ$ （や初速）の式で求める。
その位置で、中心向きを正として運動方程式を立てる。例: 半球面の外側なら $m \frac{v ^{2}}{r} = m g cos θ - N$ 、最高点の糸なら $m \frac{v ^{2}}{r} = T + m g$ 。
手順 1 の $v^{2}$ を代入して、 $N$ または $T$ を $θ$ （または初速）の式で表す。
面から離れる位置を求めるときは $N = 0$ とおく。回りきる条件を求めるときは、 $T$ （または $N$ ）がいちばん小さくなる最高点で $T \geq 0$ とおく（糸なら $v \geq g r$ ）。
最高点での条件を初速の条件に直すときは、最下点と最高点の力学的エネルギー保存 $\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = \frac{1}{2} m v^{2} + 2 m g r$ を使う。
得られた式を解いて、 $cos θ$ や高さ、初速の最小値を求める。

例題

半径 $r$ のなめらかな半球面が、平らな面を下にして水平な床に固定されている。質量 $m$ の小球を半球面の最高点に置き、ほとんど $0$ とみなせる速さで静かにすべり出させた。小球は、半球の中心を通る鉛直面内で、半球面の外側をすべり下りる。半球の中心と小球を結ぶ線が鉛直上向きとなす角を $θ$ とする。小球が半球面から離れる位置での $cos θ$ の値を求めよ。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。

例題の解答

手順 1: 角 $θ$ の位置は、最高点より $r (1 - cos θ)$ だけ低くなっています。最高点での速さは $0$ とみなせるので、力学的エネルギー保存則より $\frac{1}{2} m v^{2} = m g r (1 - cos θ)$ です。よって $v^{2} = 2 g r (1 - cos θ)$ となります。

手順 2: 中心向きを正とします。重力の中心向き成分は $m g cos θ$ です。垂直抗力 $N$ は面から小球を押す向き、つまり中心から外向きにはたらきます。よって運動方程式は $m \frac{v ^{2}}{r} = m g cos θ - N$ です。

手順 3: $v^{2}$ を代入すると、 $N = m g cos θ - \frac{m}{r} \cdot 2 g r (1 - cos θ) = m g (3 cos θ - 2)$ となります。

手順 4: すべり下りて $θ$ が大きくなると、 $cos θ$ は小さくなり $N$ は減っていきます。 $N = 0$ となる位置で小球は面から離れるので、 $3 cos θ - 2 = 0$ とおきます（この問題は回りきる条件ではないので、手順 5 は使いません）。

手順 6: これを解くと $cos θ = \frac{2}{3}$ です。このとき小球は、中心から高さ $\frac{2}{3} r$ の位置にあります。

答え: $\frac{2}{3}$

よくある誤り

糸につけた小球が最高点まで回りきる条件を「最高点で $v \geq 0$ 」としてしまう誤り。正しくは、糸は押せないので最高点で $T \geq 0$ が必要です。 $m \frac{v ^{2}}{r} = T + m g$ から $v^{2} \geq g r$ となります。これを $\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = \frac{1}{2} m v^{2} + 2 m g r$ に入れると $v_{0}^{2} = v^{2} + 4 g r \geq 5 g r$ なので、初速の最小値は $5 g r$ です。最高点で $v > 0$ であればよいのは押すこともできる軽い棒の場合で、そのときは $v_{0}^{2} - 4 g r > 0$ から $v_{0} > 2 g r$ です。
最高点での条件 $v \geq g r$ を、そのまま最下点の初速の条件だと思ってしまう誤り。正しくは、 $g r$ は最高点での速さの条件です。最下点の初速は、高さ $2 r$ 分の位置エネルギーを加えて $v_{0}^{2} = v^{2} + 4 g r$ から求めます（ $v_{0} \geq 5 g r$ ）。
面の外側と内側で運動方程式の符号を取り違える誤り。半球面の外側では $m \frac{v ^{2}}{r} = m g cos θ - N$ です。 $m \frac{v ^{2}}{r} = N - m g cos θ$ とすると $N$ が増えていく式になり、離れる位置が出てきません。正しくは、垂直抗力の向き（面から物体を押す向き）を確かめ、中心向きの成分を正にとります。
面から離れる条件を「速さが $0$ になる位置」や「 $θ = \frac{π}{2}$ の位置」としてしまう誤り。正しくは垂直抗力 $N = 0$ の位置です。例題では、速さが $0$ でない $cos θ = \frac{2}{3}$ のところで離れます。また、高さの差を $r cos θ$ とするのも誤りで、正しくは $r (1 - cos θ)$ です。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

面から離れる条件・糸がたるむ条件

前提

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なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

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