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円運動・単振動・万有引力の問題

難易度 3共通テストレベル高校物理円運動・単振動・万有引力

水平な床の上に、中心 $O$ 、半径 $R$ のなめらかな半球を、平らな面を下にして固定する。半球の最上点を $A$ とする。

大きさの無視できる小物体を $A$ に置き、水平方向に速さ $v_{0} = \frac{g R}{2}$ を与えたところ、小物体は半球の表面にそって、 $O$ を通る鉛直面内で円運動を始め、やがて途中の点 $P$ で半球の表面から離れた。 $∠ AOP = θ$ とするとき、 $cos θ$ の値を求めよ。

ただし、重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。

O

A

R

v_{0}

この問題で使うもの

面から離れる条件・糸がたるむ条件（説明と入口の問題）
力学的エネルギー保存則（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（60 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

点 P までは半径 $R$ の円運動をしています。力学的エネルギー保存の式と、中心方向の運動方程式を立て、垂直抗力が $0$ になる条件を考えます。

ヒント 2

角 $φ$ の位置では、A からの高さの差は $R (1 - cos φ)$ 、重力の中心向きの成分は $m g cos φ$ です。

ヒント 3

エネルギー保存から $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 g R (1 - cos φ)$ 、運動方程式から $N = m g cos φ - \frac{m v ^{2}}{R}$ 。 $N = 0$ とおいて $v^{2}$ を消去します。

答えと解説

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\frac{5}{6}

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解説を読む

小物体の質量を $m$ とし、 $∠ AOQ = φ$ となる表面上の点 $Q$ を小物体が通過するときの速さを $v$ 、半球から受ける垂直抗力の大きさを $N$ とする。

力学的エネルギー保存

小物体にはたらく力は重力と垂直抗力で、半球はなめらかなので摩擦はない。垂直抗力は常に速度（円の接線方向）と垂直なので仕事をしない。よって力学的エネルギーが保存する。 $Q$ は $A$ より $R (1 - cos φ)$ だけ低いので
$\frac{1}{2} m v_{0}^{2} + m g R (1 - cos φ) = \frac{1}{2} m v^{2}$
$v^{2} = v_{0}^{2} + 2 g R (1 - cos φ)$

中心方向の運動方程式

小物体は半径 $R$ の円運動をしている。中心 $O$ の向きには、重力の成分 $m g cos φ$ が中心向きに、垂直抗力 $N$ が中心と逆向きにはたらくので
$m \frac{v ^{2}}{R} = m g cos φ - N$
$N = m g cos φ - \frac{m v ^{2}}{R}$

離れる条件

小物体が表面から離れるのは $N = 0$ となるときである。 $φ = θ$ で $N = 0$ とおくと
$g cos θ = \frac{v ^{2}}{R} = \frac{v _{0}^{2}}{R} + 2 g (1 - cos θ)$
$3 g cos θ = \frac{v _{0}^{2}}{R} + 2 g$
$v_{0}^{2} = \frac{g R}{2}$ を代入すると
$3 g cos θ = \frac{g}{2} + 2 g = \frac{5}{2} g$
$cos θ = \frac{5}{6}$

（ $A$ では $N = m g - \frac{m v _{0}^{2}}{R} = \frac{m g}{2} > 0$ なので、小物体は $A$ ではすぐには離れず、確かに途中で離れる。）

別解

点 P（ $∠ AOP = θ$ ）での速さを $v$ とする。A からの下降の高さは $R (1 - cos θ)$ 。垂直抗力は仕事をしないので、力学的エネルギー保存より $\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} m v_{0}^{2} + m g R (1 - cos θ)$ 、すなわち $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 g R (1 - cos θ) = \frac{g R}{2} + 2 g R (1 - cos θ)$ 。\n\n半径方向（O に向かう向き）の運動方程式: $m g cos θ - N = m \frac{v ^{2}}{R}$ 。表面から離れる条件は $N = 0$ なので $v^{2} = g R cos θ$ 。\n\n両式から $g R cos θ = \frac{g R}{2} + 2 g R - 2 g R cos θ$ 、 $3 cos θ = \frac{5}{2}$ 、 $cos θ = \frac{5}{6}$ 。\n\n検算: $v^{2} = g R \cdot \frac{5}{6}$ 。エネルギーの式から $\frac{g R}{2} + 2 g R (1 - \frac{5}{6}) = \frac{g R}{2} + \frac{g R}{3} = \frac{5 g R}{6}$ で一致。また、A で $v_{0}^{2} = \frac{g R}{2} < g R$ なので最初は表面にそって動き始める（A でただちに飛び出さない）。

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