この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

円運動・単振動・万有引力の問題

難易度 3共通テストレベル高校物理円運動・単振動・万有引力

鉛直面内に固定された、中心 $O$ 、半径 $r$ のなめらかな円筒面の内側を、小球が運動する。円筒面の最下点を $A$ とする。小球を $A$ で円筒面の内側にそって水平に速さ $3 g r$ で動き出させたところ、小球は円筒面の内側をすべり上がり、ある点 $P$ で円筒面から離れた。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。小球の大きさは無視できるものとする。

点 $P$ の、点 $A$ からの高さを $r$ を用いて表せ。

O

A

P

r

3 g r

図は正確とは限りません

この問題で使うもの

面から離れる条件・糸がたるむ条件（説明と入口の問題）
鉛直面内の円運動の張力・垂直抗力（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（60 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

小球が面から離れる瞬間には、垂直抗力が $0$ になる。エネルギー保存則と中心方向の運動方程式を組み合わせる。

ヒント 2

$O$ を通る水平線から角 $θ$ だけ上の位置で、中心方向の運動方程式は $m \frac{v ^{2}}{r} = N + m g sin θ$ 。高さは $r (1 + sin θ)$ 。

ヒント 3

エネルギー保存則から $v^{2} = g r - 2 g r sin θ$ 。これと $N = 0$ のときの $v^{2} = g r sin θ$ から $sin θ$ を求める。

答えと解説

答えを見る

\frac{4}{3} r

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

小球にはたらく力は重力と円筒面からの垂直抗力である。円筒面はなめらかなので垂直抗力は面に垂直、つまり速度に垂直で仕事をしない。よって、小球が面上にある間は力学的エネルギーが保存する。

小球の質量を $m$ とし、小球の位置を、 $O$ を通る水平線から上向きに測った角 $θ$ （ $OP$ と水平線のなす角）で表す。この位置の $A$ からの高さは $r + r sin θ$ である。

エネルギー保存

この位置での速さを $v$ とすると
$\frac{1}{2} m \cdot 3 g r = \frac{1}{2} m v^{2} + m g (r + r sin θ)$
$v^{2} = g r - 2 g r sin θ \dots (1)$

中心方向の運動方程式

垂直抗力の大きさを $N$ とする。垂直抗力は中心 $O$ 向き、重力の中心向きの成分は $m g sin θ$ なので
$m \frac{v ^{2}}{r} = N + m g sin θ \dots (2)$

面から離れる条件

小球が面から離れるのは $N = 0$ になるときである。 $(2)$ で $N = 0$ とすると $v^{2} = g r sin θ$ 。これと $(1)$ より
$g r sin θ = g r - 2 g r sin θ より sin θ = \frac{1}{3}$
（ $(1)$ より、 $θ < 0$ の範囲、つまり $O$ より下では $N > 0$ なので、離れるのは $O$ より上である。）

よって、 $P$ の $A$ からの高さは
$r + r \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{3} r$

別解

$v_{0} = 3 g r$ なので $v_{0}^{2} = 3 g r$ で、これは $2 g r < v_{0}^{2} < 5 g r$ をみたす。最下点で $v_{0}^{2} < 2 g r$ ならば円筒面の中心 O の高さまで達せず戻り、 $v_{0}^{2} \geq 5 g r$ ならば円運動を最高点まで続けるが、この範囲では O より上のどこかで円筒面から離れる。

離れる点 P の A からの高さを $h$ とする。O から見て水平面より上向きに角 $φ$ の位置とすると、 $h = r + r sin φ$ 、すなわち $sin φ = \frac{h - r}{r}$ 。

P での速さを $v$ とする。力学的エネルギー保存則より

$\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = \frac{1}{2} m v^{2} + m g h \Rightarrow v^{2} = v_{0}^{2} - 2 g h = 3 g r - 2 g h$

P での円の中心(O)方向の運動方程式は、垂直抗力を $N$ として

$m \frac{v ^{2}}{r} = N + m g sin φ$

離れる瞬間は $N = 0$ なので

$\frac{v ^{2}}{r} = g sin φ = \frac{g ( h - r )}{r} \Rightarrow v^{2} = g (h - r)$

2式から

$3 g r - 2 g h = g h - g r \Rightarrow 3 g h = 4 g r \Rightarrow h = \frac{4}{3} r$

検算: $h = \frac{4}{3} r$ のとき $v^{2} = g (h - r) = \frac{g r}{3} > 0$ 。また $sin φ = \frac{h - r}{r} = \frac{1}{3}$ で $0 < sin φ < 1$ なので O より上かつ最高点より下の点である。エネルギーの式 $v^{2} = 3 g r - 2 g \cdot \frac{4}{3} r = 3 g r - \frac{8}{3} g r = \frac{g r}{3}$ とも一致する。

円運動・単振動・万有引力の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題