この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

円運動・単振動・万有引力の問題

難易度 1教科書の例題レベル高校物理円運動・単振動・万有引力

水平な床の上に、半径 $r$ のなめらかな半球面が、球面を上にして固定されている。半球の中心を $O$ 、半球面の最高点を $P$ とする。質量 $m$ の小球を $P$ に置き、水平方向に速さ $\frac{g r}{2}$ を与えたところ、小球は半球面にそって鉛直面内ですべり下り、半球面上の点 $Q$ で面から離れた。 $∠ POQ = θ$ とするとき、 $cos θ$ の値を求めよ。ただし、重力加速度の大きさを $g$ とし、小球の大きさと空気抵抗は無視する。

O

P

Q

r

\frac{g r}{2}

θ

図は正確とは限りません

この問題で使うもの

面から離れる条件・糸がたるむ条件（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（60 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

力学的エネルギー保存則で角 $θ$ の位置での速さを求め、中心方向の運動方程式に「面から離れるとき垂直抗力が $0$ 」という条件を使います。

ヒント 2

角 $θ$ の位置で、中心方向の運動方程式は $m \frac{v ^{2}}{r} = m g cos θ - N$ です。面から離れるのは $N = 0$ のときです。

ヒント 3

エネルギー保存則から $v^{2} = \frac{g r}{2} + 2 g r (1 - cos θ)$ となります。これを $v^{2} = g r cos θ$ と等しいとおきます。

答えと解説

答えを見る

\frac{5}{6}

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

小球が $∠ POQ$ が $θ$ の位置にあるときの速さを $v$ 、半球面から受ける垂直抗力の大きさを $N$ とする。

1. 力学的エネルギー保存則で速さを求める

面はなめらかで、垂直抗力は運動の向きにつねに垂直なので仕事をしない。仕事をするのは保存力である重力だけなので、力学的エネルギーが保存する。点 $P$ から角 $θ$ の位置までに下がる高さは $r - r cos θ = r (1 - cos θ)$ なので、
$\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} m \cdot \frac{g r}{2} + m g r (1 - cos θ)$
よって
$v^{2} = \frac{g r}{2} + 2 g r (1 - cos θ) = \frac{5}{2} g r - 2 g r cos θ (1)$

2. 中心方向の運動方程式を立てる

小球は半径 $r$ の円運動をしている。中心 $O$ に向かう向きを正とすると、重力の中心向きの成分は $m g cos θ$ 、垂直抗力は中心と反対向きに $N$ なので、
$m \frac{v ^{2}}{r} = m g cos θ - N (2)$

3. 面から離れる条件 $N = 0$ を使う

小球が面から離れるのは、垂直抗力が $0$ になるときである。 $(2)$ で $N = 0$ とすると
$v^{2} = g r cos θ (3)$
$(1)$ と $(3)$ から
$g r cos θ = \frac{5}{2} g r - 2 g r cos θ$
$3 cos θ = \frac{5}{2}$
$cos θ = \frac{5}{6}$

なお、最高点 $P$ では $(2)$ から $N = m g - m \frac{v ^{2}}{r} = m g - \frac{m g}{2} = \frac{m g}{2} > 0$ である。したがって、小球は $P$ ですぐに離れることはなく、面にそってすべり下りてから離れる。

よって、 $cos θ = \frac{5}{6}$ である。

別解

小球が点Qにあるとき、Pからの高さの低下は $r (1 - cos θ)$ である。なめらかな面なので力学的エネルギーが保存される。

$\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} m \cdot \frac{g r}{2} + m g r (1 - cos θ)$

よって $v^{2} = \frac{g r}{2} + 2 g r (1 - cos θ) = g r (\frac{5}{2} - 2 cos θ)$ 。

円運動の中心方向（OQ向き）の運動方程式は、垂直抗力を $N$ として

$m \frac{v ^{2}}{r} = m g cos θ - N$

面から離れる条件は $N = 0$ なので $\frac{v ^{2}}{r} = g cos θ$ 。

$g (\frac{5}{2} - 2 cos θ) = g cos θ$ より $3 cos θ = \frac{5}{2}$ 、すなわち $cos θ = \frac{5}{6}$ 。

検算： $cos θ = \frac{5}{6}$ のとき $v^{2} = g r (\frac{5}{2} - \frac{5}{3}) = \frac{5}{6} g r$ となり、 $g r cos θ = \frac{5}{6} g r$ と一致する。

また、Pで $v^{2} = \frac{g r}{2} < g r$ なので、最初は面にそって動き始める。条件は整合している。

円運動・単振動・万有引力の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題