円運動・単振動・万有引力の問題

難易度 1教科書の例題レベル高校物理円運動・単振動・万有引力

長さ $l$ の軽くて伸びない糸の一端を点 $O$ に固定し、他端に質量 $m$ の小球をつける。小球は、 $O$ の真下の点 $A$ に糸が張った状態で静止している。 $O$ の真上で $O$ から距離 $l$ の点を $B$ とする。

$A$ にある小球に水平方向の速さ $v_{0}$ を与えたところ、小球は $O$ を中心とする半径 $l$ の円にそって鉛直面内で運動を始めた。糸がたるむことなく小球が $B$ を通過するための $v_{0}$ の最小値を、 $g$ , $l$ を用いて表せ。ただし、重力加速度の大きさを $g$ とし、小球の大きさと空気抵抗は無視する。

O

A

B

l

v_{0}

破線は小球が運動する円

この問題で使うもの

面から離れる条件・糸がたるむ条件（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（60 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

技能「糸がたるむ条件」を使う。糸がたるまないとは、張力 $T \geq 0$ ということ。張力が最も小さくなる最高点 $B$ で条件を考え、力学的エネルギー保存則と組み合わせる。

ヒント 2

最高点 $B$ では重力も張力も中心向きなので $m \frac{v ^{2}}{l} = T + m g$ 。また力学的エネルギー保存則 $\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = \frac{1}{2} m v^{2} + m g \cdot 2 l$ が成り立つ。

ヒント 3

$T \geq 0$ から $v^{2} \geq g l$ 。エネルギー保存則から $v^{2} = v_{0}^{2} - 4 g l$ なので、これを代入して $v_{0}$ の条件を求める。

答えと解説

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5 g l

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解説を読む

方針：糸がたるまない条件は「張力 $T \geq 0$ 」である。最高点 $B$ での張力の条件から $B$ での速さの条件を求め、力学的エネルギー保存則で $v_{0}$ の条件に直す。

1. 力学的エネルギー保存則

小球にはたらく力は重力と糸の張力である。張力はつねに円の中心 $O$ を向き、速度（円の接線方向）と垂直なので仕事をしない。仕事をするのは保存力である重力だけなので、力学的エネルギーが保存する。 $B$ での速さを $v$ とし、 $A$ の高さを重力による位置エネルギーの基準とすると、 $B$ は $A$ より $2 l$ 高いので
$\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = \frac{1}{2} m v^{2} + m g \cdot 2 l$
よって
$v^{2} = v_{0}^{2} - 4 g l (1)$

2. 最高点での中心方向の運動方程式

$B$ では、重力 $m g$ も張力 $T$ も鉛直下向き、すなわち中心 $O$ の向きにはたらく。中心向きの運動方程式は
$m \frac{v ^{2}}{l} = T + m g$
よって
$T = m \frac{v ^{2}}{l} - m g (2)$

3. 糸がたるまない条件

糸がたるまずに $B$ を通過するには、 $B$ で $T \geq 0$ であればよい（小球が上へ行くほど速さが小さくなり、重力の中心向きの成分は大きくなるので、張力は最高点 $B$ で最も小さい。したがって $B$ で $T \geq 0$ なら途中でもたるまない）。 $(2)$ より
$m \frac{v ^{2}}{l} - m g \geq 0 すなわち v^{2} \geq g l$
これに $(1)$ を代入すると
$v_{0}^{2} - 4 g l \geq g l すなわち v_{0}^{2} \geq 5 g l$
$v_{0} > 0$ なので $v_{0} \geq 5 g l$ 。

したがって、求める最小値は $5 g l$ である。

別解

最高点 B で糸の張力を $T$ 、速さを $v$ とすると、向心方向（下向き、O 向き）の運動方程式は $m \frac{v ^{2}}{l} = T + m g$ 。糸がたるまない条件は $T \geq 0$ なので $v^{2} \geq g l$ 、すなわち $v \geq g l$ 。

力学的エネルギー保存則（A を位置エネルギーの基準とし、B は高さ $2 l$ ）より $\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = \frac{1}{2} m v^{2} + m g \cdot 2 l$ 。よって $v_{0}^{2} = v^{2} + 4 g l \geq g l + 4 g l = 5 g l$ 。

したがって $v_{0} \geq 5 g l$ であり、最小値は $v_{0} = 5 g l$ 。

検算： $v_{0}^{2} = 5 g l$ のとき B での速さは $v^{2} = 5 g l - 4 g l = g l$ となり、張力は $T = m \frac{g l}{l} - m g = 0$ で、ちょうど条件を満たす。途中の位置でも張力は B 以上に大きいので、たるまない。

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