円運動・単振動・万有引力の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル高校物理円運動・単振動・万有引力

なめらかな水平な床の上に、ばね定数 $k$ の軽いばねを水平に置き、その左端を鉛直な壁に固定し、右端に質量 $M$ の物体 $P$ を取り付ける。ばねが自然の長さのときの $P$ の位置を $O$ とし、 $O$ を原点として壁から遠ざかる向き（右向き）を $x$ 軸の正の向きとする。 $P$ は $x$ 軸上を振幅 $A$ で単振動している。

$P$ が $x = \frac{A}{2}$ の位置を右向きに通過する瞬間に、 $P$ の真上のわずかな高さから静かにはなした質量 $m$ の粘土 $Q$ が $P$ の上面に落ち、すぐに $P$ と一体になった。その後、 $P$ と $Q$ は一体となって $x$ 軸上を単振動した。

粘土 $Q$ が $P$ に落ちる直前の $Q$ の速度は鉛直下向きで、水平方向の成分は $0$ とする。 $Q$ が $P$ と一体になるまでの時間はきわめて短く、そのあいだの $P$ の位置の変化は無視できるものとする。 $P$ や $Q$ の大きさ、空気抵抗は無視する。

一体となったあとの単振動の振幅を、 $A$ , $M$ , $m$ を用いて表せ。

O

A /2

この問題で使うもの

単振動のエネルギー（説明と入口の問題）
運動量保存則（説明と入口の問題）
途中で質量・速さが変わる単振動の振幅（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（66 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

衝突の前と後では単振動のエネルギーが保存し、衝突の瞬間には水平方向の運動量が保存する、と分けて考えよう。衝突をまたいでエネルギー保存を使ってはいけない。

ヒント 2

$x = \frac{A}{2}$ での $P$ の速さ $v$ は $\frac{1}{2} M v^{2} + \frac{1}{2} k (\frac{A}{2})^{2} = \frac{1}{2} k A^{2}$ から求まる。一体になった直後の速さ $V$ は $M v = (M + m) V$ から求まる。

ヒント 3

$M v^{2} = \frac{3}{4} k A^{2}$ 、 $V = \frac{M}{M + m} v$ である。新しい振幅 $A^{'}$ は $\frac{1}{2} (M + m) V^{2} + \frac{1}{2} k (\frac{A}{2})^{2} = \frac{1}{2} k A^{'2}$ を満たす。

答えと解説

答えを見る

\frac{A}{2} \frac{4 M + m}{M + m}

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

(1) 衝突直前の $P$ の速さ

床はなめらかなので、 $P$ にはたらく力のうち仕事をするのはばねの弾性力だけである。よって、 $P$ の運動エネルギーとばねの弾性エネルギーの和（単振動のエネルギー）は保存する。振幅 $A$ の位置（端）では速さが $0$ なので、 $x = \frac{A}{2}$ での $P$ の速さを $v$ とすると
$\frac{1}{2} M v^{2} + \frac{1}{2} k (\frac{A}{2})^{2} = \frac{1}{2} k A^{2}$
これより
$M v^{2} = \frac{3}{4} k A^{2} (1)$

(2) 一体になった直後の速さ

$Q$ が $P$ と一体になるまでの時間はきわめて短い。そのあいだ水平方向にはたらく力はばねの弾性力だけで、その大きさは有限なので、その力積は無視できる。したがって、 $P$ と $Q$ の水平方向の運動量の和は保存する（鉛直方向は床からの垂直抗力を受けるので保存しないが、 $Q$ の鉛直方向の速度は床上で $0$ になる）。 $Q$ の水平方向の速度は $0$ なので、一体となった直後の速さを $V$ とすると
$M v = (M + m) V よって V = \frac{M}{M + m} v$

なお、この衝突は完全非弾性衝突で力学的エネルギーが失われるので、衝突の前後をまたいでエネルギー保存の式を使うことはできない。

(3) 一体となったあとの振幅

一体となったあとも床はなめらかで、仕事をする力は弾性力だけなので、単振動のエネルギーは保存する。衝突直後の位置は $x = \frac{A}{2}$ のままなので、新しい振幅を $A^{'}$ とすると
$\frac{1}{2} (M + m) V^{2} + \frac{1}{2} k (\frac{A}{2})^{2} = \frac{1}{2} k A^{'2}$
ここで、 $(1)$ を使うと
$(M + m) V^{2} = (M + m) \cdot \frac{M ^{2} v ^{2}}{( M + m ) ^{2}} = \frac{M}{M + m} \cdot M v^{2} = \frac{M}{M + m} \cdot \frac{3}{4} k A^{2}$
よって
$k A^{'2} = \frac{3 M}{4 ( M + m )} k A^{2} + \frac{1}{4} k A^{2} = \frac{k A ^{2}}{4} \cdot \frac{3 M + ( M + m )}{M + m} = \frac{k A ^{2}}{4} \cdot \frac{4 M + m}{M + m}$
$A^{'2} = \frac{A ^{2}}{4} \cdot \frac{4 M + m}{M + m}$
$A^{'} > 0$ より
$A^{'} = \frac{A}{2} \frac{4 M + m}{M + m}$

（確かめ: $m = 0$ のとき $A^{'} = \frac{A}{2} \cdot 2 = A$ となり、もとの振幅に一致する。）

別解

一体になる前の P の単振動の角振動数は $ω = \frac{k}{M}$ 。 $x = \frac{A}{2}$ での速さ $v$ は、力学的エネルギー保存より
$\frac{1}{2} M v^{2} + \frac{1}{2} k (\frac{A}{2})^{2} = \frac{1}{2} k A^{2}$
$v^{2} = \frac{k}{M} \cdot \frac{3 A ^{2}}{4} = \frac{3 k A ^{2}}{4 M}$ 。

Q は鉛直下向きに落ちるだけで水平方向の運動量をもたず、床はなめらかなので、衝突（合体）の間、水平方向の運動量が保存される（ばねの力は P の位置の変化が無視できるので力積に寄与しない）。合体直後の速さを $v^{'}$ として
$M v = (M + m) v^{'}$ より $v^{'} = \frac{M}{M + m} v$ 。位置は $x = \frac{A}{2}$ のまま。

合体後、水平面上で、つり合いの位置はばねが自然の長さの位置 O のまま（鉛直方向の力は床の垂直抗力とつり合うだけ）。角振動数は $ω^{'} = \frac{k}{M + m}$ 。新しい振幅を $A^{'}$ とすると、エネルギー保存より
$\frac{1}{2} (M + m) v^{'2} + \frac{1}{2} k (\frac{A}{2})^{2} = \frac{1}{2} k A^{'2}$

$(M + m) v^{'2} = \frac{M ^{2}}{M + m} v^{2} = \frac{M ^{2}}{M + m} \cdot \frac{3 k A ^{2}}{4 M} = \frac{3 k A ^{2} M}{4 ( M + m )}$

よって
$A^{'2} = \frac{A ^{2}}{4} + \frac{3 A ^{2} M}{4 ( M + m )} = \frac{A ^{2} ( M + m + 3 M )}{4 ( M + m )} = \frac{A ^{2} ( 4 M + m )}{4 ( M + m )}$

$A^{'} = \frac{A}{2} \frac{4 M + m}{M + m}$

検算: $m = 0$ なら $A^{'} = \frac{A}{2} \cdot 2 = A$ で元の振幅に一致。 $m \to \infty$ なら $A^{'} \to \frac{A}{2}$ （位置 $A /2$ で止まる）で妥当。

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が答えを見ずに 3 回解き、3 回とも同じ答えになりました
プログラムで答えを計算し直し、一致を確認しました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

確認の方法について

間違いを報告する

この問題の誤り・分かりにくい点・難易度や学年のずれを知らせる