復元力と単振動の周期

単振動する物体にはたらく合力が $F = - K x$ の復元力（振動の中心向きで変位に比例）であること、周期 $T = 2 π \frac{m}{K}$ が振幅によらないこと（単振り子では振幅が小さい範囲での等時性）を判定でき、その名称を答えられる

前提

単振動の変位・速度・加速度（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
運動の法則（運動方程式）（高校物理力と運動（知識））

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算数中学高校大学大学院

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説明

物体が振動の中心からずれたとき、中心へ引き戻す向きに、ずれの大きさに比例してはたらく合力を「復元力」といいます。この技能では、復元力 $F = - K x$ を受ける物体が単振動をすることと、その周期が $T = 2 π \frac{m}{K}$ で決まり振幅によらないことを学びます。ばね振り子や単振り子について、周期が何で決まり何によらないかを判定するときに使います。

なぜそうしてよいのか

前提の技能から、単振動の加速度は $a = - ω^{2} x$ です。ここで $x$ は振動の中心からの変位、 $ω$ は角振動数です。運動方程式 $ma = F$ にこれを入れると $F = - m ω^{2} x$ となります。 $m ω^{2}$ を正の定数 $K$ とおけば $F = - K x$ です。負の符号は、力がいつも変位と逆向き、つまり振動の中心向きであることを表します。逆に、合力が $F = - K x$ の形なら $a = - \frac{K}{m} x$ となるので、物体は $ω = \frac{K}{m}$ の単振動をします。等速円運動と同じく周期は $T = \frac{2 π}{ω}$ なので、 $T = 2 π \frac{m}{K}$ が得られます。

この式には振幅が入っていません。振幅を大きくすると、端での復元力も大きくなって速く動くので、長い道のりを同じ時間で往復できるからです。ばね定数 $k$ のばね振り子では $K = k$ なので、 $T = 2 π \frac{m}{k}$ です。ばねを鉛直につるした場合も、つり合いの位置を中心とすれば同じ式になります。

長さ $L$ の単振り子で、糸が鉛直と角 $θ$ をなすときを考えます。重力の接線方向の成分 $m g sin θ$ が、おもりを最下点へ戻す向きにはたらきます。振幅が小さいときは $sin θ \approx θ$ とみなせ、最下点からの弧の長さは $x = L θ$ です。したがって $F \approx - \frac{m g}{L} x$ となり、 $K = \frac{m g}{L}$ の単振動とみなせます。これを周期の式に入れると $T = 2 π \frac{L}{g}$ です。この周期は、おもりの質量にも、振幅が小さい範囲では振幅にもよりません。これを「振り子の等時性」といいます。

手順

物体にはたらく合力を、振動の中心からの変位 $x$ で表し、 $F = - K x$ （中心向きで変位に比例）の形になっているか確かめる。この形の力を復元力という
$K$ が何で決まるかを読み取る。ばね振り子なら $K = k$ 、単振り子（振幅が小さいとき）なら $K = \frac{m g}{L}$
周期の式 $T = 2 π \frac{m}{K}$ に当てはめる。ばね振り子では $T = 2 π \frac{m}{k}$ 、単振り子では $T = 2 π \frac{L}{g}$
式に含まれる量（ $m$ , $k$ , $L$ , $g$ ）だけで周期が決まり、振幅は式に含まれないことから、各選択肢の正誤を判定する

例題

単振動と復元力について述べた次の文のうち、正しいものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。
ア　単振動する物体にはたらく合力は、つねに振動の中心から遠ざかる向きにはたらく。
イ　ばね振り子の振幅を 2 倍にすると、周期は $2$ 倍になる。
ウ　ばね振り子のおもりの質量を 4 倍にすると、周期は 2 倍になる。
エ　単振り子の周期は、おもりの質量が大きいほど短くなる。

例題の解答

手順1：単振動の合力は復元力 $F = - K x$ です。変位と逆向き、つまり振動の中心向きにはたらくので、アは誤りです。
手順2・3：ばね振り子では $K = k$ なので $T = 2 π \frac{m}{k}$ です。単振り子では $K = \frac{m g}{L}$ なので $T = 2 π \frac{L}{g}$ です。
手順4：
・イ：ばね振り子の周期の式に振幅は含まれないので、振幅を 2 倍にしても周期は変わりません。誤りです。
・ウ： $m$ を $4 m$ にすると $T^{'} = 2 π \frac{4 m}{k} = 2 \times 2 π \frac{m}{k} = 2 T$ となるので、正しいです。
・エ：単振り子の周期 $2 π \frac{L}{g}$ は質量を含まないので、質量によりません。誤りです。
よって正しいものはウです。

答え:

ウ

よくある誤り

振幅を大きくすると周期が長くなると考えてしまう誤り。正しくは、 $T = 2 π \frac{m}{K}$ に振幅は含まれないので、単振動の周期は振幅によらない。
復元力の向きを変位と同じ向きとして $F = K x$ としてしまう誤り。正しくは $F = - K x$ で、力はつねに振動の中心向き（変位と逆向き）にはたらく。振動の中心では $x = 0$ なので、力は $0$ になる。
根号の中の分子と分母を逆にして $T = 2 π \frac{k}{m}$ としてしまう誤り。正しくは $T = 2 π \frac{m}{k}$ である。重いおもりほど加速されにくいので、ゆっくり振動して周期が長くなる。
単振り子でも周期が質量で変わる、あるいはどんなに大きく振っても等時性が成り立つと考えてしまう誤り。正しくは、 $T = 2 π \frac{L}{g}$ は質量によらない。ただしこの式は $sin θ \approx θ$ とみなせる、振幅が小さい範囲でだけ成り立つ。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
質量 $m$ の物体が、ある直線上で単振動をしている。振動の中心を原点とし、物体の変位を $x$ とすると、物体にはたらく合力 $F$ は、正の定数 $K$ を用いて $F = - K x$ と表される。空気抵抗や摩擦は無視する。
次の文中の空欄 a・b に入る語句の組み合わせとして正しいものを、下のア〜エのうちから 1 つ選べ。
> 合力 $F = - K x$ は、つねに振動の中心を向き、物体を振動の中心にもどそうとするはたらきをもつ。このような力を（ a ）という。また、この単振動の周期は $T = 2 π \frac{m}{K}$ と表されるので、 $m$ と $K$ を変えずに振幅だけを 2 倍にすると、周期は（ b ）。
a b
ア向心力 2 倍になる
イ復元力変わらない
ウ向心力変わらない
エ復元力 2 倍になる

	a	b
ア	向心力	2 倍になる
イ	復元力	変わらない
ウ	向心力	変わらない
エ	復元力	2 倍になる

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ばね振り子と単振り子の周期（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
ばね振り子の周期と振動の中心（高校物理円運動・単振動・万有引力）
単振り子の周期（高校物理円運動・単振動・万有引力）