単振り子の周期

振れ角が小さいとき、重力の接線方向の成分を $- \frac{m g}{l} x$ と近似して単振り子の運動を単振動とみなし、周期 $T = 2 π \frac{l}{g}$ を使って糸の長さ・周期・重力加速度を求められる

前提

単振動の変位・速度・加速度の式（高校物理円運動・単振動・万有引力）
運動方程式（高校物理力と運動）
復元力と単振動の周期（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））

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算数中学高校大学大学院

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運動方程式（高校物理力と運動）
復元力と単振動の周期（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））

説明

長さ $l$ の軽い糸に小さなおもりをつるして小さく振らせる「単振り子」は、振れ角が小さければ単振動とみなせます。すると、周期は $T = 2 π \frac{l}{g}$ で表され、おもりの質量にも振幅にもよりません。この式を使うと、糸の長さから周期を求めたり、周期の測定から糸の長さや重力加速度 $g$ を求めたりできます。

なぜそうしてよいのか

質量 $m$ のおもりが長さ $l$ の糸につるされ、鉛直線から角 $θ$ （弧度法）だけ傾いているとします。おもりは半径 $l$ の円弧の上を動くので、運動方向は円弧の接線方向です。張力は糸の向き（円の中心向き）なので運動方向に垂直で、接線方向の成分をもちません。重力 $m g$ を糸の方向と接線方向に分解すると、接線方向の成分の大きさは $m g sin θ$ で、向きはいつも最下点に戻る向きです。最下点から円弧に沿って測った変位を $x$ （片側を正）とすると、弧の長さと角の関係から $x = l θ$ です。よって接線方向の力は $F = - m g sin θ$ と書けます。

振れ角が小さいとき（弧度法で $θ$ が 0 に近いとき）、 $sin θ \approx θ$ です（例えば $θ = 0.10$ rad で $sin θ \approx 0.0998$ ）。このとき $F \approx - m g θ = - \frac{m g}{l} x$ となります。これは変位に比例し、振動の中心（最下点）を向く復元力 $F = - K x$ で、 $K = \frac{m g}{l}$ にあたります。おもりは $x$ の向きに沿ってほぼ直線的に往復するとみなせるので、単振動として扱えます。

単振動の周期の式 $T = 2 π \frac{m}{K}$ に $K = \frac{m g}{l}$ を代入すると、 $m$ が約分されて $T = 2 π \frac{m}{m g / l} = 2 π \frac{l}{g}$ となります。質量が大きいと重力の復元力も同じ割合で大きくなるので、周期は質量によりません。また、この近似が成り立つ小さな振れ角の範囲では、周期は振幅にもよりません（振り子の等時性）。

手順

問題が単振り子で、振れ角が小さい（単振動とみなせる）ことを確かめる。
与えられた量（ $T$ , $l$ , $g$ のうち 2 つ）と、求める量を整理する。質量や振幅は周期に関係しないことに注意する。
周期の式 $T = 2 π \frac{l}{g}$ を書く。
求める量について式を解く。両辺を 2 乗すると $T^{2} = \frac{4 π ^{2} l}{g}$ なので、 $l = \frac{g T ^{2}}{4 π ^{2}}$ 、 $g = \frac{4 π ^{2} l}{T ^{2}}$ 。
数値を代入して計算し、指定された有効数字の桁数に丸める。

例題

軽くて伸びない糸の先に小さなおもりをつけた単振り子を、小さな振れ角で振らせたところ、周期が $2.0$ s であった。重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ 、円周率を $3.14$ とし、空気抵抗は無視する。糸の長さは何 m か。有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順1：振れ角が小さい単振り子なので、単振動とみなせる。
手順2：与えられた量は $T = 2.0$ s、 $g = 9.8 m/ s^{2}$ 。求める量は糸の長さ $l$ 。
手順3：周期の式は $T = 2 π \frac{l}{g}$ 。
手順4：両辺を 2 乗して $T^{2} = \frac{4 π ^{2} l}{g}$ 。これを $l$ について解くと $l = \frac{g T ^{2}}{4 π ^{2}}$ 。
手順5：代入すると $l = \frac{9.8 \times ( 2.0 ) ^{2}}{4 \times ( 3.14 ) ^{2}} = \frac{39.2}{39.4384} \approx 0.994$ となる。有効数字 2 桁に丸めると $0.99$ m。

答え: $0.99$

よくある誤り

おもりの質量が大きいほど周期が長くなる（または短くなる）と考えてしまう誤り。正しくは、 $K = \frac{m g}{l}$ の $m$ が $T = 2 π \frac{m}{K}$ の中で約分されるので、 $T = 2 π \frac{l}{g}$ は質量によらない。
根号を忘れて $T = 2 π \frac{l}{g}$ としたり、分母と分子を逆にして $T = 2 π \frac{g}{l}$ としたりする誤り。正しくは $T = 2 π \frac{l}{g}$ で、 $\frac{g}{l}$ は角振動数 $ω$ である。
式を変形するときに 2 乗を忘れて $l = \frac{g T}{2 π}$ としたり、 $2 π$ だけ 2 乗して $π$ を 2 乗しない誤り。正しくは $T^{2} = \frac{4 π ^{2} l}{g}$ より $l = \frac{g T ^{2}}{4 π ^{2}}$ 。
振れ角が大きくても $sin θ \approx θ$ が使えると考えてしまう誤り。この近似は $θ$ を弧度法で表し、 $θ$ が小さいときだけ成り立つ。振れ角が大きいと復元力は $- \frac{m g}{l} x$ からずれ、周期は $2 π \frac{l}{g}$ より長くなる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

単振り子の周期

前提

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なぜそうしてよいのか

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よくある誤り

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