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円運動・単振動・万有引力の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル高校物理円運動・単振動・万有引力

水平面と角 $θ$ （ $0 < θ < \frac{π}{2}$ ）をなすなめらかな斜面の上に台車を置く。台車の天井の一点に、長さ $L$ の軽くて伸びない糸の一端を固定し、他端に小球をつるして単振り子をつくる。

台車が斜面にそって自由にすべり下りているあいだに、台車に対して小球を、つりあいの位置から斜面の最大傾斜の方向を含む鉛直面内で小さく振動させた。台車から見たこの振り子の周期を、 $L$ , $g$ , $θ$ を用いて表せ。

ただし、重力加速度の大きさを $g$ とし、台車と斜面のあいだの摩擦、空気抵抗は無視する。台車の質量は小球の質量に比べて十分大きく、小球の振動は台車の運動に影響しないものとする。また、振り子の振れは十分小さく、糸は台車の天井や壁にふれないものとする。

L

θ

台車は斜面にそってすべり下りる（図は振り子がつりあいの位置にあるとき）

この問題で使うもの

運動方程式（説明と入口の問題）
力の分解と質点のつり合い（説明と入口の問題）
単振り子の周期（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（53 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

台車とともに動く立場で考え、小球には重力のほかに慣性力がはたらくとする。

ヒント 2

台車の加速度は斜面にそって下向きに $g sin θ$ 。慣性力は斜面にそって上向きに $m g sin θ$ である。

ヒント 3

重力と慣性力の合力（見かけの重力）を求めると、斜面に垂直な向きに大きさ $m g cos θ$ となる。これを単振り子の周期の式の $g$ の代わりに使う。

答えと解説

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2 π \frac{L}{g cos θ}

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解説を読む

(1) 台車の加速度

斜面はなめらかなので、台車にはたらく斜面方向の力は重力の斜面方向の成分だけである（小球の振動の影響は無視できる）。よって台車は斜面にそって下向きに、大きさ
$a = g sin θ$
の加速度で運動する。

(2) 台車から見た見かけの重力

台車とともに動く立場で考えると、質量 $m$ の小球には重力 $m g$ （鉛直下向き）のほかに、慣性力 $ma = m g sin θ$ （斜面にそって上向き）がはたらく。

重力を斜面に平行な成分と垂直な成分に分けると、平行成分は斜面にそって下向きに $m g sin θ$ 、垂直成分は斜面に垂直に $m g cos θ$ である。平行成分は慣性力 $m g sin θ$ と打ち消しあうので、重力と慣性力の合力は
$m g^{'} = m g cos θ (斜面に垂直で斜面に向かう向き)$
となる。この合力は一定なので、台車の中では大きさ $g^{'} = g cos θ$ の「見かけの重力加速度」がはたらいているのと同じである。振り子のつりあいの位置では、糸は斜面に垂直になる。

(3) 周期

単振り子の振れが小さいとき、その周期は重力加速度を見かけの重力加速度 $g^{'}$ に置きかえて
$T = 2 π \frac{L}{g ^{'}} = 2 π \frac{L}{g cos θ}$
となる。

（ $θ \to 0$ で静止した単振り子の周期 $2 π L / g$ に一致し、 $θ$ が大きいほど見かけの重力が弱くなって周期が長くなる。）

別解

斜面はなめらかなので、台車（と小球）が斜面にそってすべり下りるときの加速度の大きさは $a = g sin θ$ 、向きは斜面に沿って下向きである（台車の質量が小球より十分大きく、小球の振動は台車の運動に影響しない）。\n\n台車とともに動く観測者から見ると、小球には重力 $m g$ のほかに慣性力 $- m a$ がはたらく。見かけの重力加速度 $g_{eff} = g - a$ を、斜面に沿う方向と斜面に垂直な方向に分解する。\n\n- 斜面に沿う成分（下向きを正）: $g sin θ - a = g sin θ - g sin θ = 0$ \n- 斜面に垂直な成分（斜面を押しつける向き）: $g cos θ$ \n\nよって見かけの重力加速度は、斜面に垂直な向きで大きさ $g_{eff} = g cos θ$ である。つりあいの位置では糸は斜面に垂直になり、小さな振動の周期は単振り子の式で $g$ を $g_{eff}$ に置きかえたものになる。\n $T = 2 π \frac{L}{g cos θ}$ \n\n検算: $θ \to 0$ （水平面で台車が加速しない）のとき $T = 2 π L / g$ となり、通常の単振り子の周期と一致する。また、 $θ \to π /2$ （自由落下）では $g_{eff} \to 0$ で周期は無限大になり、無重力状態と整合する。

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