軽くて伸びない糸の上端を天井に固定し、下端に小さなおもりをつるして単振り子をつくり、振れ幅が十分に小さくなるように振動させる。空気抵抗は無視する。
この単振り子の周期について述べた文として正しいものを、次のア〜オのうちから 1 つ選べ。
- ア 周期は、おもりの質量が大きいほど長くなる。
- イ 周期は、糸の長さが長いほど短くなる。
- ウ 振れ幅が十分に小さい範囲では、周期は振れ幅によらない。
- エ 周期は、重力加速度の大きさが大きい場所ほど長くなる。
- オ 周期は、糸の長さに比例する。
ばね振り子と単振り子の周期
ばね振り子の周期 は質量とばね定数で決まり振幅や重力加速度によらないこと、単振り子の周期 は糸の長さと重力加速度で決まりおもりの質量や（小さな）振幅によらないことを使って、条件を変えたときの周期の変化を選べる
前提
- 復元力と単振動の周期 （高校物理 円運動・単振動・万有引力（知識））
- 弾性力とフックの法則 （高校物理 力と運動（知識））
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説明
ばね振り子と単振り子の周期の式を使うと、おもりの質量・ばね定数・糸の長さ・重力加速度・振幅を変えたときに周期がどう変わるか（変わらないか）を判断できます。ばね振り子の周期は 、単振り子の周期は です。正誤判定の問題では、どちらの振り子かを見分け、変えた量が式に入っているかどうかを確かめるのが大切です。
なぜそうしてよいのか
前提として、復元力 を受けて単振動する物体の周期は で、振幅によりません。あとは、それぞれの振り子で が何になるかを調べれば十分です。ばね振り子では、フックの法則から復元力は なので となり、 です。鉛直につるした場合、重力 はつり合いの位置を だけ下げますが、つり合いの位置からの変位を とすると合力は のままです。そのため は変わらず、周期は重力加速度 によりません。水平でも鉛直でも、地球上でも月面上でも同じ周期になります。
単振り子（長さ の糸に質量 のおもり）では、振れ角が小さいとき、おもりを最下点に戻そうとする力は、最下点からの弧に沿った変位 を使って近似的に と表せます。よって で、 となります。重いおもりは動かしにくい（慣性が大きい）一方で、受ける重力による復元力もちょうど同じ割合で大きくなります。このため が約分されて消え、周期は質量によりません。この式は振れ角が小さい範囲で成り立つ近似なので、振幅によらない（等時性）のも振幅が小さいときに限ります。
どちらの式でも周期は比の平方根で決まります。たとえば や を 4 倍にすると、周期は 倍になります。
手順
振り子の種類を見分け、周期の式を書く。ばね振り子なら 、単振り子なら 。
変えた量が式に入っているかを確かめる。入っていなければ周期は変わらない。ばね振り子なら振幅・・水平か鉛直か、単振り子ならおもりの質量・（小さな）振幅がこれにあたる。
式に入っている量を変えたときは、比で周期の倍率を求める。例：、、（ は分母にあるので逆数の平方根になる）。
求めた倍率から周期が長くなるか短くなるかを判断し、選択肢の記述と照らし合わせる。
例題
振り子の周期について述べた文として正しいものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。ただし、単振り子の振れ角は十分小さく、空気抵抗は無視できるものとする。
ア ばね振り子のおもりの質量を 4 倍にすると、周期は 2 倍になる。
イ ばね振り子の振幅を 2 倍にすると、周期は 倍になる。
ウ 単振り子のおもりの質量を 4 倍にすると、周期は 2 倍になる。
エ 単振り子を、重力加速度の大きさが地球の約 の月面に持っていくと、周期は短くなる。
例題の解答
選択肢ごとに、手順 1〜4 を使って判断する。
ア：（手順 1）ばね振り子なので 。（手順 2） は式に入っている。（手順 3）。（手順 4）周期は 2 倍になるので正しい。
イ：（手順 2）振幅はばね振り子の周期の式に入っていないので、周期は変わらない。誤り。
ウ：（手順 1）単振り子なので 。（手順 2）おもりの質量は式に入っていないので、周期は変わらない。誤り。
エ：（手順 3） なので 。（手順 4）周期は約 倍に長くなるので、「短くなる」は誤り。
よって正しいものはア。
答え: ア
よくある誤り
単振り子で、おもりが重いほど周期が長くなるとしてしまう誤り。正しくは、慣性と復元力 がどちらも に比例して が約分されるので、周期 は質量によらない。
鉛直につるしたばね振り子の周期が重力加速度で変わる（月面では長くなる）としてしまう誤り。正しくは、重力はつり合いの位置をずらすだけで、復元力は のままなので、 は によらない。
質量や長さを 2 倍にすると周期も 2 倍になるとしてしまう誤り。正しくは周期は平方根に比例し、 倍になる。周期を 2 倍にするには （または ）を 4 倍にする必要がある。
重力加速度が小さいと単振り子の周期が短くなるとしてしまう誤り。正しくは は の分母にあるので、 が小さいほど周期は長くなる（ が 倍なら周期は 2 倍）。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
この技能を使う問題
なめらかな水平面上で、一端を壁に固定した軽いばねの他端に小物体をつなぎ、ばねを自然の長さから少し伸ばして静かにはなしたところ、小物体はばねの自然の長さの位置を中心として、ばねの方向に単振動をした。空気抵抗は無視する。この単振動について述べた文として最も適当なものを、次のア〜エから 1 つ選べ。
- ア 小物体が振動の中心を通過するとき、速さと加速度の大きさはどちらも最大になる。
- イ 小物体にはたらく力の合力は、振動の中心からの変位と同じ向きで、変位の大きさに比例する。
- ウ はじめにばねを伸ばす長さを 2 倍にして同じようにはなすと、単振動の周期も 2 倍になる。
- エ 小物体が振動の端に来たとき、速さは 0 になり、加速度は振動の中心の向きで大きさが最大になる。
単振り子とばね振り子について、次のア〜カのように条件を 1 つだけ変えて振動させる。変えると書いたもの以外の条件はすべて変えないものとする。単振り子は、軽くて伸びない糸に小さなおもりをつるしたもので、振れ幅が十分に小さい範囲で振動させる。ばね振り子は、軽いばねにおもりをつけたもので、ばねは同じものを使う。空気抵抗や摩擦は無視する。
もとの場合と比べて振動の周期が長くなるものを、次のア〜カからすべて選べ。
- ア 単振り子を、重力加速度の大きさがより小さい場所に持っていって振動させる。
- イ 単振り子のおもりを、大きさが同じで質量がより大きいものにとりかえる。
- ウ なめらかな水平面上で振動させるばね振り子のおもりを、質量がより大きいものにとりかえる。
- エ なめらかな水平面上で振動させるばね振り子の振幅を大きくする。
- オ 鉛直につるしたばね振り子を、重力加速度の大きさがより小さい場所に持っていって上下に振動させる。
- カ 単振り子の糸を、より長いものにとりかえる。
軽いばねの上端を天井に固定し、下端に小球をつるしたところ、ばねが自然の長さから少し伸びた位置で小球は静止した。この位置を「つり合いの位置」とよぶ。次に、小球をつり合いの位置から鉛直下向きに少し引き下げて静かにはなしたところ、小球はつり合いの位置を中心として鉛直方向に単振動をした。空気抵抗は無視し、ばねの伸びは弾性の範囲内にあるものとする。
この単振動について述べた文として誤っているものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。
- ア 小球にはたらく重力とばねの弾性力の合力は、つり合いの位置からの変位の大きさに比例し、変位と逆向きである。
- イ 小球の加速度の大きさは、小球がつり合いの位置を通過するときに最大になる。
- ウ 小球の速さは、小球がつり合いの位置を通過するときに最大になる。
- エ はじめに引き下げる距離を大きくして振幅を大きくしても、単振動の周期は変わらない。
なめらかな水平面上で、軽いばねの一端を壁に固定し、他端に小物体を取り付ける。ばねが自然の長さのときの小物体の位置を振動の中心として、小物体をばねの伸び縮みの方向に引いてから静かにはなすと、小物体は単振動をする。空気抵抗は無視する。この単振動について述べた文として正しいものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。
- ア 小物体の加速度の大きさは、振動の中心を通過するときに最大になる。
- イ 小物体の速さは、振動の両端で最大になる。
- ウ はじめに引く距離を 2 倍にして振幅を 2 倍にすると、単振動の周期も 2 倍になる。
- エ 小物体の加速度は、つねに振動の中心からの変位と逆向きで、その大きさは変位の大きさに比例する。
ばね振り子と単振り子を、地上や月面などさまざまな場所で振動させる。ばね振り子は、軽いばねに小さなおもりをつけたものであり、単振り子は、軽くて伸びない糸に小さなおもりをつるしたものである。単振り子は振れ幅（振幅）が十分に小さい範囲で振動させ、空気抵抗や摩擦は無視する。また、月面での重力加速度の大きさは地上の約 である。
これらの振り子の周期について述べた文として誤っているものを、次のア〜オのうちから 1 つ選べ。
- ア 同じばねと同じおもりでつくったばね振り子を、地上と月面で鉛直につるして振動させると、周期はどちらでも等しい。
- イ 同じばねと同じおもりを用いるとき、ばねを鉛直につるして振動させた場合と、なめらかな水平面上で振動させた場合とで、周期は等しい。
- ウ 同じ長さの糸と同じおもりでつくった単振り子を月面で振動させると、地上で振動させたときよりも周期は長くなる。
- エ 単振り子の糸の長さを変えずに、おもりを質量の大きいものにとりかえると、地上で振動させたときの周期は短くなる。
- オ 鉛直上向きに一定の加速度で上昇しているエレベーターの中で単振り子を振動させると、静止しているエレベーターの中よりも周期は短くなる。