単振動のエネルギー

振動の中心からの変位 $x$ を使った $\frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} K x^{2} = \frac{1}{2} K A^{2}$ を使い、ある位置での速さや、振動の中心での速さから振幅を求められる

前提

ばね振り子の周期と振動の中心（高校物理円運動・単振動・万有引力）
力学的エネルギー保存則（高校物理仕事・エネルギーと運動量）

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算数中学高校大学大学院

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力学的エネルギー保存則（高校物理仕事・エネルギーと運動量）

説明

単振動している物体について、振動の中心からの変位 $x$ と速さ $v$ のあいだに成り立つ関係 $\frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} K x^{2} = \frac{1}{2} K A^{2}$ を使います。この式を使えば、時刻を考えなくても、ある位置での速さがすぐに求まります。また、振動の中心を通るときの速さ（最大の速さ）から振幅 $A$ を求めることもできます。復元力が $F = - K x$ の形になる運動であれば、水平・鉛直・2 本のばねのどのばね振り子にも使えます。

なぜそうしてよいのか

単振動の変位と速度は、角振動数を $ω$ として $x = A sin ω t$ 、 $v = A ω cos ω t$ と書けます。復元力 $F = - K x$ の単振動では $K = m ω^{2}$ です。この 2 つを使って計算すると $\frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} K x^{2} = \frac{1}{2} m A^{2} ω^{2} cos^{2} ω t + \frac{1}{2} m ω^{2} A^{2} sin^{2} ω t = \frac{1}{2} m ω^{2} A^{2} = \frac{1}{2} K A^{2}$ となります（ $sin^{2} ω t + cos^{2} ω t = 1$ を使いました）。右辺は時刻によらない一定値なので、「運動エネルギー」と「 $\frac{1}{2} K x^{2}$ 」の和はいつも一定です。振動の端（ $x = \pm A$ ）では速さが 0 になるので、その一定値は $\frac{1}{2} K A^{2}$ になります。

これは力学的エネルギー保存則の言いかえです。水平ばね振り子では $K = k$ で、 $x$ はばねの伸びそのものなので、 $\frac{1}{2} k x^{2}$ はふつうの弾性力の位置エネルギーです。鉛直ばね振り子では、つり合いの位置でのばねの伸びを $d$ （ $k d = m g$ ）とし、つり合いの位置から下向きに変位 $x$ をとります。ばねの伸びは $d + x$ 、つり合いの位置を高さの基準にすると高さは $- x$ なので、弾性力の位置エネルギーと重力の位置エネルギーの和は $\frac{1}{2} k (d + x)^{2} - m g x = \frac{1}{2} k x^{2} + (k d - m g) x + \frac{1}{2} k d^{2} = \frac{1}{2} k x^{2} + \frac{1}{2} k d^{2}$ となります。 $\frac{1}{2} k d^{2}$ は $x$ によらない定数なので、保存則の両辺で打ち消し合います。したがって、つり合いの位置（振動の中心）からの変位 $x$ を使えば、重力の項を書かなくても同じ式がそのまま成り立ちます。

手順

振動の中心（物体にはたらく力がつり合う位置）を見つけ、復元力 $F = - K x$ の $K$ を求める（水平ばね 1 本なら $K = k$ 、鉛直ばね 1 本でも $K = k$ 、両側を 2 本のばねにつながれた場合は $K = k_{1} + k_{2}$ ）。
振動の中心からの変位を $x$ 、振幅を $A$ とする。振動の端（ $x = \pm A$ ）では速さが 0 であることを使って $A$ を読み取る。
エネルギーの式 $\frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} K x^{2} = \frac{1}{2} K A^{2}$ を書き、わかっている量を代入する。
求めたい量について解く。位置 $x$ での速さは $v = \frac{K}{m} (A^{2} - x^{2})$ 、振動の中心（ $x = 0$ ）での速さは $v_{m a x} = A \frac{K}{m}$ 、逆に振幅は $A = v_{m a x} \frac{m}{K}$ 。

例題

なめらかな水平面上で、ばね定数 $50 N/m$ の軽いばねの一端を壁に固定し、他端に質量 $0.50 kg$ の物体をつなぐ。ばねが自然の長さのときの物体の位置から、ばねが伸びる向きに物体を $0.20 m$ 引いて静かにはなしたところ、物体はばねの方向に単振動した。物体が自然の長さの位置から $0.12 m$ 離れた位置を通過するときの速さは何 m/s か。有効数字 2 桁で求めよ。空気抵抗は無視する。

例題の解答

手順1：水平面上なので、力がつり合う位置（振動の中心）はばねが自然の長さの位置で、 $K = k = 50 N/m$ 。

手順2：静かにはなした位置では速さが 0 なので、そこが振動の端である。よって振幅は $A = 0.20 m$ 。求める位置の変位の大きさは $x = 0.12 m$ 。

手順3： $\frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} K x^{2} = \frac{1}{2} K A^{2}$ に代入すると $\frac{1}{2} \times 0.50 \times v^{2} + \frac{1}{2} \times 50 \times 0.1 2^{2} = \frac{1}{2} \times 50 \times 0.2 0^{2}$

手順4： $v$ について解くと $v^{2} = \frac{K}{m} (A^{2} - x^{2}) = \frac{50}{0.50} \times (0.040 - 0.0144) = 100 \times 0.0256 = 2.56$ となる。 $v > 0$ なので $v = 2.56 = 1.6 m/s$ 。

答え: $1.6$

よくある誤り

鉛直ばね振り子で、自然の長さからの伸びを $x$ として $\frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} k A^{2}$ を使ってしまう誤り。これでは重力の効果が抜けてしまう。正しくは、つり合いの位置（振動の中心、伸び $d = \frac{m g}{k}$ の位置）からの変位を $x$ とすれば、重力の項なしで $\frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} k A^{2}$ が成り立つ。なお、自然の長さからの伸び $s$ と高さ $h$ を使って $\frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k s^{2} + m g h =$ 一定とするのも正しい方法だが、こちらは別の方法である。2 つの方法を混ぜて、自然の長さ基準の伸びを単振動の式に入れたり、つり合いの位置基準の式にさらに $m g h$ を加えたりしないこと。
$\frac{1}{2} K A^{2} - \frac{1}{2} K x^{2}$ を $\frac{1}{2} K (A - x)^{2}$ としてしまう誤り。正しくは $\frac{1}{2} K (A^{2} - x^{2})$ で、例題なら $A^{2} - x^{2} = 0.040 - 0.0144 = 0.0256$ となる（ $(A - x)^{2} = 0.0064$ ではない）。
$v^{2}$ を求めたところで止め、平方根をとり忘れる誤り（例題で $2.56$ と答えてしまう）。正しくは $v = \frac{K}{m} (A^{2} - x^{2}) = 2.56 = 1.6 m/s$ 。
両側から 2 本のばねにつながれた物体で、 $K$ に 1 本分のばね定数 $k_{1}$ だけを使ってしまう誤り。正しくは、変位 $x$ のとき 2 本のばねの力がどちらも中心向きにはたらくので $K = k_{1} + k_{2}$ とし、 $\frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} (k_{1} + k_{2}) x^{2} = \frac{1}{2} (k_{1} + k_{2}) A^{2}$ を使う。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

途中で質量・速さが変わる単振動の振幅（高校物理円運動・単振動・万有引力）