単振動の位相と経過時間

$x = A cos ω t$ などの式で、ある位置を通過するときの位相 $ω t$ を三角関数の方程式から求め、ある位置から別の位置まで動くのにかかる時間や、壁との衝突などで単振動の一部をくり返す運動の周期を求められる

前提

ばね振り子の周期と振動の中心（高校物理円運動・単振動・万有引力）
三角関数の基本的な方程式・不等式（数学II 三角関数）

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算数中学高校大学大学院

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三角関数の基本的な方程式・不等式（数学II 三角関数）

説明

単振動の式 $x = A cos ω t$ を使うと、物体がある位置を通過する時刻を三角関数の方程式として求められます。これにより「位置 $x_{1}$ から位置 $x_{2}$ まで動くのに何秒かかるか」が計算できます。さらに、壁ではね返るなどして単振動の一部だけをくり返す運動では、各区間の時間を足し合わせて、その運動の周期を求められます。

なぜそうしてよいのか

単振動は、半径 $A$ ・角速度 $ω$ の等速円運動を、直径の方向に映した影の運動とみなせます。円周上の点が基準の位置から回った角度が位相 $ω t$ で、影の位置は $x = A cos ω t$ です。等速円運動では回った角度は時間に比例するので、ある位置を通過するときの位相 $θ$ がわかれば、そこまでの時間は $t = \frac{θ}{ω}$ で求まります。2 つの位置の間の時間は、位相の差 $Δ θ$ を使って $\frac{Δ θ}{ω}$ です。

大切なのは、時間は「移動した距離」ではなく「位相（円周上で回った角度）」に比例することです。単振動は中心付近で速く、端付近で遅いので、距離を等分しても時間は等分になりません。また、 $cos ω t = c$ を満たす $ω t$ は 1 周期の中に一般に 2 つあります。物体が今どちら向きに動いているか、何回目の通過かを考えて、ふさわしい $ω t$ を選びます（ $x = A cos ω t$ では、 $0 ≦ ω t ≦ π$ の間は $x = A$ から $x = - A$ へ負の向きに動き、 $π ≦ ω t ≦ 2 π$ の間は正の向きに戻ります）。

壁で弾性的にはね返るなど、単振動の一部だけをくり返す運動では、はね返った後の運動もまた同じ単振動の一部（逆向きに同じ道をたどる運動）になります。そのため 1 往復にかかる時間は、往きと帰りでかかる単振動の区間の時間の和になり、これがその運動の周期です。

手順

振動の中心（つり合いの位置）を原点にとって正の向きを決め、 $K$ を求めて角振動数 $ω = \frac{K}{m}$ （周期 $T = \frac{2 π}{ω}$ ）を求める。
初めの状態から変位の式を立てる。端 $x = A$ から静かに放すなら $x = A cos ω t$ 、時刻 0 に中心を正の向きに通過するなら $x = A sin ω t$ 。
知りたい位置 $x_{1}$ を代入し、 $cos ω t = \frac{x _{1}}{A}$ のような方程式を作る。
運動の向きと何回目の通過かから $ω t$ のとりうる範囲を決め（例: $x = A cos ω t$ で初めて負の向きに通過するなら $0 < ω t ≦ π$ ）、その範囲で方程式を解いて位相 $θ$ を求める。
時間を $t = \frac{θ}{ω}$ で求める。2 つの位置の間なら位相の差 $Δ θ$ を使って $\frac{Δ θ}{ω}$ 。
単振動の一部をくり返す運動では、1 往復に含まれる各区間の時間を手順 3〜5 で求めて足し、周期とする。

例題

なめらかな水平面上で、ばね定数 $k$ の軽いばねの一端を壁に固定し、他端に質量 $m$ の小物体をつなぐ。ばねは水平で、小物体はばねの方向にだけ動くものとする。ばねが自然長のときの小物体の位置を原点 O とし、ばねが伸びる向きを正として、小物体を $x = A$ （ $A > 0$ ）の位置まで引いて静かに放した。放してから、小物体が初めて $x = - \frac{A}{2}$ の位置を通過するまでの時間を求めよ。空気抵抗は無視する。

例題の解答

手順 1: 小物体の変位が $x$ のとき、水平方向の力はばねの弾性力 $- k x$ だけなので、振動の中心は O で $K = k$ です。よって $ω = \frac{k}{m}$ です。

手順 2: 時刻 $t = 0$ に端 $x = A$ から静かに放すので、 $x = A cos ω t$ です。

手順 3: $x = - \frac{A}{2}$ を代入すると $A cos ω t = - \frac{A}{2}$ 、すなわち $cos ω t = - \frac{1}{2}$ です。

手順 4: 放した後、小物体は初めに負の向きへ動き、 $x = - A$ に着くまで（ $0 < ω t ≦ π$ ）の間に $x = - \frac{A}{2}$ を初めて通過します。この範囲で $cos ω t = - \frac{1}{2}$ を解くと $ω t = \frac{2 π}{3}$ です（もう一つの解 $\frac{4 π}{3}$ は、正の向きに戻るときの 2 回目の通過）。

手順 5: $t = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{ω} = \frac{2 π}{3} \frac{m}{k}$ 。これは周期 $T = 2 π \frac{m}{k}$ の $\frac{1}{3}$ にあたります。

答え: $\frac{2 π}{3} \frac{m}{k}$

よくある誤り

時間が移動距離に比例すると考えてしまう誤り。たとえば $x = A$ から $x = \frac{A}{2}$ までは中心までの距離の半分なので $\frac{T}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{T}{8}$ とするのは誤り。正しくは $cos ω t = \frac{1}{2}$ から $ω t = \frac{π}{3}$ で、 $t = \frac{π}{3 ω} = \frac{T}{6}$ 。
$cos ω t = - \frac{1}{2}$ の解として運動の向きを考えずに $ω t = \frac{4 π}{3}$ を選んでしまう誤り。正しくは、初めて（負の向きに）通過するのは $0 < ω t ≦ π$ の範囲にある $ω t = \frac{2 π}{3}$ 。
位相を度数法のまま使って $t = \frac{120}{ω}$ としたり、 $t = θ T$ としたりする誤り。正しくは弧度法で $t = \frac{θ}{ω} = \frac{θ}{2 π} T$ （例: $θ = \frac{2 π}{3}$ なら $t = \frac{T}{3}$ ）。
壁ではね返る運動で、往きと帰りの区間を数え忘れたり、元の周期 $T$ をそのまま答えたりする誤り。たとえば $x = A$ から放し、 $x = - \frac{A}{2}$ の壁で弾性的にはね返る場合、周期は $T$ ではなく、 $x = A \to - \frac{A}{2}$ の時間 $\frac{T}{3}$ を往きと帰りで 2 回足した $\frac{2}{3} T$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

難易度 4（国公立二次の標準レベル）
なめらかな水平な床の上に、ばね定数 $k$ の軽いばねを水平に置き、左端を鉛直な壁に固定し、右端に質量 $m$ の小物体を取り付ける。ばねが自然の長さのときの小物体の位置を $O$ とし、 $O$ から右へ距離 $d$ の位置に、床に垂直な固い板 $W$ を固定する。小物体はばねの方向（左右の方向）にだけ動くものとする。
小物体を $O$ から左へ $2 d$ の位置まで動かし（ばねは $2 d$ 縮む）、静かにはなした。小物体は右へ動いて板 $W$ に弾性衝突し、はね返った。その後、小物体は板 $W$ との弾性衝突をくり返しながら、同じ運動を周期的にくり返した。
この周期的な運動の周期を、 $m$ , $k$ を用いて表せ。ただし、小物体の大きさ、空気抵抗は無視し、衝突にかかる時間は無視できるものとする。
$O$ $W$ $m$ $2 d$ $d$
小物体の大きさは無視する（図では箱で表している）