円運動・単振動・万有引力の問題

なめらかな水平面上に、ばね定数 $k$ の軽いばねの一端を壁に固定し、他端に質量 $m$ の小物体をつなぐ。ばねが自然の長さのときの小物体の位置を原点 $\mathrm{O}$ とし、ばねが伸びる向き（壁から遠ざかる向き）を $x$ 軸の正の向きとする。小物体を $x=A$（$A>0$）の位置まで引いて静かにはなした。はなした時刻を $t=0$ とすると、小物体の位置は $x=A\cos \omega t$（$\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$）と表される。小物体をはなしてから、はじめて $x=-\frac{A}{2}$ の位置を通過するまでにかかる時間を、$m$, $k$ を用いて表せ。ただし、空気抵抗は無視する。

なめらかな水平面上で、ばね定数 $20N/m$ の軽いばねの一端を壁に固定し、他端に質量 $0.20\mathrm{kg}$ の小物体をつけた。ばねは水平で、小物体はばねの方向にだけ動くものとする。ばねが自然長になる位置から小物体を $0.10\mathrm{m}$ 引いて静かにはなしたところ、小物体は自然長の位置を振動の中心とし、振幅 $0.10\mathrm{m}$ の単振動をした。小物体が振動の中心から $0.060\mathrm{m}$ はなれた位置を通過するときの速さは何 $m/s$ か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、空気抵抗は無視する。

天井に上端を固定した、ばね定数 $k$ の軽いばねの下端に、質量 $m$ の小物体をつるす。小物体が静止するつり合いの位置を原点 $\mathrm{O}$ とし、鉛直上向きを $x$ 軸の正の向きとする。小物体を $\mathrm{O}$ から鉛直下向きに距離 $A$（$A>0$）だけ引き下げ、時刻 $t=0$ に静かにはなしたところ、小物体は鉛直方向に単振動をした。空気抵抗は無視でき、ばねは伸び縮みしても常にフックの法則に従うものとする。

小物体をはなしてから、はじめて位置 $x=\frac{A}{2}$ を通過するまでの時間を、$m$, $k$ を用いて表せ。

なめらかな水平面の上で、ばね定数 $50\text{N/m}$ の軽いばねの左端を鉛直な壁に固定し、右端に質量 $0.50\text{kg}$ の物体を取り付けた。ばねが自然の長さのときの物体の位置を $\mathrm{O}$ とする。物体を $\mathrm{O}$ から右向きに $0.20\text{m}$ だけ引いて静かにはなすと、物体はばねの伸び縮みする方向に単振動をした。

物体が $\mathrm{O}$ から $0.12\text{m}$ の位置を通過するときの物体の速さは何 m/s か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、空気抵抗は無視する。

なめらかな水平な床の上で、ばね定数 $k$ の軽いばねの左端を鉛直な壁に固定し、右端に質量 $m$ の小物体 P を取り付ける。P はばねの方向（水平方向）にだけ動き、振幅 $A$ の単振動をしている。P がばねの自然長の位置（振動の中心）を右向きに通過する瞬間に、質量 $m$ の粘土 Q を P の真上から鉛直に静かに落としたところ、Q は P に衝突して一瞬で一体となった。その後、P と Q は一体となって水平方向に単振動した。この単振動の振幅を、$A$ を用いて表せ。ただし、空気抵抗は無視し、衝突にかかる時間はきわめて短いものとする。