連成振動と基準振動

なめらかな水平面上で、2 つの固定された壁のあいだに、質量がともに $m$ の小物体 A, B を一直線上に並べ、左の壁と A、A と B、B と右の壁を、ばね定数がすべて $k$ の 3 本の軽いばねでつなぐ。つり合いの位置ではどのばねも自然長である。A, B のつり合いの位置からの右向きの変位をそれぞれ $x_1$, $x_2$ とし、運動はばねの方向（一直線上）に限られるとする。摩擦と空気抵抗は無視する。

この系の 2 つの基準振動の角振動数を、小さい方、大きい方の順に、$k$, $m$ を用いて求めよ。

なめらかな水平面上に、質量 $4m$ の小物体 A、質量 $3m$ の小物体 B、質量 $4m$ の小物体 C をこの順に一直線上に並べる。A と B、B と C を、ばね定数 $k$ の軽いばねでそれぞれつないだ（$m>0$, $k>0$）。A, B, C の外側には何もつながれていない。物体はばねの方向（直線方向）にだけ動くものとし、摩擦と空気抵抗は無視する。

この系の基準振動のうち、角振動数が $0$ でないものは 2 つある。その角振動数を大きい方から ${\omega }_{+}$、小さい方を ${\omega }_{-}$ とするとき、比 $\frac{{\omega }_{+}}{{\omega }_{-}}$ を求めよ。答えは根号を用いた正確な値で答えよ。

図のように、自己インダクタンス $L$ のコイル 2 個、電気容量 $C$ のコンデンサー 2 個、電気容量 $C_0$ のコンデンサー 1 個からなる回路がある（$L>0$, $C>0$, $C_0>0$）。左の閉回路は「コイル $L$、コンデンサー $C$、コンデンサー $C_0$」、右の閉回路は「コンデンサー $C_0$、コンデンサー $C$、コイル $L$」からなり、コンデンサー $C_0$ が 2 つの閉回路に共通な枝になっている。

左の閉回路を時計回りに流れる網目電流を $I_1=\frac{d{q}_1}{dt}$、右の閉回路を時計回りに流れる網目電流を $I_2=\frac{d{q}_2}{dt}$ とし、左のコンデンサー $C$ の電荷を $q_1$、右のコンデンサー $C$ の電荷を $q_2$、コンデンサー $C_0$ の電荷を $q_1-q_2$ と表す（符号の向きは網目電流の向きに合わせる）。導線とコイルの抵抗は無視し、電磁波の放射やコイルどうしの相互誘導もないものとする。

この回路の電気振動の 2 つの基準振動の角振動数を、$L$, $C$, $C_0$ を用いて、小さいほうから順に組で求めよ。

なめらかな水平面上で、質量 $m$ の物体 A と質量 $2m$ の物体 B が一直線上に並んでいる。左の壁と A、A と B、B と右の壁が、それぞればね定数 $k$ の 3 本のばねでつながれている。つり合いの位置ではどのばねも自然長であり、A, B はばねの方向（一直線上）にだけ運動するものとする。

この系の 2 つの基準振動の角振動数を ${\omega }_1$, ${\omega }_2$（$0<{\omega }_1<{\omega }_2$）とするとき、比 $\frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}$ を求めよ。答えは根号を含む最も簡単な形で表せ。

天井の点 O から、長さ $l$ の軽くて伸びない糸で質量 $m$ の小球 A をつるし、さらに A から長さ $l$ の軽くて伸びない糸で質量 $m$ の小球 B をつるした二重振り子を考える。2 つの小球は O を含む同じ鉛直面内だけで運動し、上の糸と下の糸が鉛直線となす角をそれぞれ ${\theta }_1$, ${\theta }_2$ とする。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗や糸の質量は無視する。

${\theta }_1$, ${\theta }_2$ が十分小さい微小振動を考え、${\theta }_1,{\theta }_2,{\dot{\theta }}_1,{\dot{\theta }}_2$ について 2 次までの近似でラグランジアンを書くとき、この系の 2 つの基準振動の角振動数を ${\omega }_1$, ${\omega }_2$（$0<{\omega }_1<{\omega }_2$）とする。比 $\frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}$ を求めよ。

なめらかな水平面上で、質量 $m$ の物体 A と質量 $m$ の物体 B が一直線上に並んでいる。左の壁と A がばね定数 $2k$ のばねで、A と B がばね定数 $k$ のばねでつながれており、B の右側には何もつながれていない（$m>0$, $k>0$）。つり合いの位置ではどちらのばねも自然長である。物体はばねの方向（一直線上）だけを運動し、ばねの質量と空気抵抗は無視する。

この系の 2 つの基準振動の角振動数のうち、大きい方を ${\omega }_{+}$、小さい方を ${\omega }_{-}$ とする。比 $\frac{{\omega }_{+}}{{\omega }_{-}}$ を求めよ。

天井に、ばね定数 $k$ の軽いばね 1 の上端を固定し、その下端に質量 $m$ の小物体 A をつけた。さらに A の下に、ばね定数 $k$ の軽いばね 2 の上端をつけ、その下端に質量 $m$ の小物体 B をつけた（$m>0$, $k>0$）。A, B は同じ鉛直線上で、鉛直方向にだけ運動する。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。

つり合いの位置からの A, B の変位を、鉛直下向きを正としてそれぞれ $x_1,x_2$ とする。この系の 2 つの基準振動のうち、角振動数が小さい方の基準振動では、$x_1$ と $x_2$ は $x_1=a_1\cos (\omega t+\varphi )$、$x_2=a_2\cos (\omega t+\varphi )$（$a_2\ne 0$）の形で振動する。このときの振幅の比 $\frac{a_1}{a_2}$ を求めよ。

なめらかな水平な床の上に、質量 $M$ の台 A が置かれている。A は、ばね定数 $k$ の軽いばねで左の壁につながれ、ばねの方向（水平な一直線上）にだけ動く。A の上には軽い支柱が固定されており、その先端の点 P から長さ $l$ の軽くて伸びない糸で質量 $m$ の小球 B がつるされている。B は、A の運動の方向を含む鉛直面内だけで振れる。ここで
$$m=\frac{M}{2},k=\frac{Mg}{l}$$
とする（$M>0$, $l>0$。$g$ は重力加速度の大きさ）。

A の位置 $x$ をばねが自然長のときを原点として水平右向きを正にとり、糸が鉛直下向きとなす角を $\theta$ とする。空気抵抗と摩擦は無視し、$x$, $\theta$, $\dot{x}$, $\dot{\theta }$ はすべて微小であるとして 2 次までの近似を用いる。また、B は支柱や A にぶつからないものとする。

この系の 2 つの基準振動の角振動数を、小さい方、大きい方の順に、$g$ と $l$ を用いて表せ。

水平でなめらかなレールに沿って一直線上を動ける質量 $m$ の台があり、台はばね定数 $k$ のばねで壁につながれている。台の点 P から長さ $l$ の軽くて伸びない糸で質量 $m$ の小球をつるし、小球はレールを含む鉛直面内で振れる。台の位置（ばねが自然長のときからの変位、レールに沿って右向きを正）を $x$、糸が鉛直線となす角を $\theta$ とする。重力加速度の大きさを $g$ とし、ばね定数は $k=\frac{mg}{l}$ であるとする。空気抵抗・摩擦・糸とばねの質量は無視する。

$x$, $\theta$ が十分小さい微小振動を考え、$x,\theta ,\dot{x},\dot{\theta }$ について 2 次までの近似でラグランジアンを書くとき、この系の 2 つの基準振動の角振動数を ${\omega }_1$, ${\omega }_2$（$0<{\omega }_1<{\omega }_2$）とする。比 $\frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}$ を求めよ。答えは根号を含む最も簡単な形で表せ。