振り子の連成振動（ラグランジアンの 2 次近似）

二重振り子やばねで結んだ振り子について、運動エネルギーとポテンシャルを角度とその時間微分の 2 次まで近似したラグランジアンを書き、質量行列・剛性行列から基準振動の角振動数を求められる

前提

連成振動と基準振動（大学物理振動・波動）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）

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算数中学高校大学大学院

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説明

二重振り子や、ばねで結ばれた 2 つの振り子のように、角度で位置を表す系の小さな振動を調べる方法です。力を一つ一つ分解して運動方程式を立てる代わりに、運動エネルギー $T$ とポテンシャル $U$ を角度 $θ_{i}$ と角速度 $θ ˙_{i}$ の 2 次の項まで近似して書き、その係数から質量行列 $M$ と剛性行列 $K$ を読み取ります。あとは連成振動と同じく $det (K - ω^{2} M) = 0$ を解けば基準振動の角振動数が得られます。棒や糸でつながった系のように、張力などの束縛の力を求めずに済ませたい場面で特に便利です。

なぜそうしてよいのか

ラグランジアンとは $L = T - U$ （運動エネルギーからポテンシャルを引いたもの）のことです。位置を表す変数（ここでは角度） $q_{1}, q_{2}, \dots$ を用いて $L$ を書くと、運動方程式は各 $i$ について
$\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial q ˙ _{i}} = \frac{\partial L}{\partial q _{i}}$
で与えられます（ラグランジュの運動方程式）。1 つの質点で $q = x$ 、 $L = \frac{1}{2} m x ˙^{2} - U (x)$ とすると、左辺は $\frac{d}{d t} (m x ˙) = m x ¨$ 、右辺は $- \frac{d U}{d x}$ （力）となり、ニュートンの運動方程式そのものです。この形は変数を角度に取り替えても成り立つので、振り子のように角度で表すのが自然な系で、張力を考えずに運動方程式が得られます。

つり合いの位置（すべての $q_{i} = 0$ ）の近くの小さな振動では、 $T$ と $U$ を $q_{i}, q ˙_{i}$ の 2 次まで残せば十分です。 $T$ は速度の 2 乗なので $q ˙_{i}$ の 2 次式で、係数の $q_{i}$ への依存は $q_{i} = 0$ での値に置き換えます（例: $cos (θ_{1} - θ_{2}) \to 1$ ）。 $U$ はつり合いの位置で極小なので 1 次の項がなく、 $1 - cos θ \approx \frac{θ ^{2}}{2}$ などで 2 次まで残します。こうして
$T = \frac{1}{2} i, j \sum M_{ij} q ˙_{i} q ˙_{j}, U = \frac{1}{2} i, j \sum K_{ij} q_{i} q_{j} (M_{ij} = M_{j i}, K_{ij} = K_{j i})$
と書けたとします。 $K_{ij} = \frac{\partial ^{2} U}{\partial q _{i} \partial q _{j}}$ （ $q = 0$ での値）、 $M_{ij} = \frac{\partial ^{2} T}{\partial q ˙ _{i} \partial q ˙ _{j}}$ でもあります。これをラグランジュの運動方程式に入れると $\frac{\partial L}{\partial q ˙ _{i}} = \sum_{j} M_{ij} q ˙_{j}$ 、 $\frac{\partial L}{\partial q _{i}} = - \sum_{j} K_{ij} q_{j}$ なので
$M q ¨ = - K q$
となり、ばねの連成振動と全く同じ形になります。したがって $q = A cos (ω t + φ)$ を代入して $det (K - ω^{2} M) = 0$ から基準振動の角振動数が求まります。

ばねの連成振動との違いは、 $M$ が対角行列とは限らないことです。二重振り子では下のおもりの速度に上の振り子の角速度も効くので、 $T$ に $θ ˙_{1} θ ˙_{2}$ の項が現れ、 $M$ に非対角成分が入ります。2 次形式の係数を行列に読み替えるとき、交差項 $c q ˙_{1} q ˙_{2}$ は $\frac{1}{2} (M_{12} + M_{21}) q ˙_{1} q ˙_{2} = M_{12} q ˙_{1} q ˙_{2}$ に当たるので $M_{12} = M_{21} = c$ です。

手順

角度 $θ_{1}, θ_{2}, \dots$ を変数に選び、各おもりの座標を角度で表す（例: $x_{1} = l sin θ_{1}, y_{1} = - l cos θ_{1}$ ）
座標を時間微分して運動エネルギー $T$ を書き、 $θ ˙$ の 2 次の項だけを残す（係数に含まれる角度は $0$ とおく。例: $cos (θ_{1} - θ_{2}) \to 1$ ）
ポテンシャル $U$ （重力・ばね）を書き、 $cos θ \approx 1 - \frac{θ ^{2}}{2}$ などで角度の 2 次まで展開する（定数項は捨ててよい）
$T = \frac{1}{2} θ ˙^{T} M θ ˙$ 、 $U = \frac{1}{2} θ^{T} K θ$ となるように $M, K$ を読み取る。 $θ_{i}^{2}$ の係数の 2 倍が対角成分、 $θ_{i} θ_{j}$ の係数がそのまま $(i, j)$ と $(j, i)$ 成分
$det (K - ω^{2} M) = 0$ を $ω^{2}$ について解き、 $ω > 0$ を取って基準振動の角振動数とする

例題

長さ $l$ の軽い棒の上端を固定点につなぎ、下端に質量 $m$ のおもり 1 を付け、おもり 1 にさらに長さ $l$ の軽い棒をつないで、その下端に質量 $m$ のおもり 2 を付けた二重振り子がある。棒は鉛直面内でなめらかに回転でき、上の棒と下の棒が鉛直下向きとなす角を $θ_{1}, θ_{2}$ とする。重力加速度の大きさを $g$ とし、 $θ_{1}, θ_{2}$ が十分小さい振動を考える。2 つの基準振動の角振動数を、小さい順に組で求めよ。

例題の解答

（手順 1）固定点を原点、鉛直上向きを $y$ 軸とすると
$x_{1} = l sin θ_{1}, y_{1} = - l cos θ_{1}, x_{2} = l sin θ_{1} + l sin θ_{2}, y_{2} = - l cos θ_{1} - l cos θ_{2} .$

（手順 2） $x ˙_{1}^{2} + y ˙_{1}^{2} = l^{2} θ ˙_{1}^{2}$ 。また $x ˙_{2} = l cos θ_{1} θ ˙_{1} + l cos θ_{2} θ ˙_{2}$ 、 $y ˙_{2} = l sin θ_{1} θ ˙_{1} + l sin θ_{2} θ ˙_{2}$ より、加法定理を使って $x ˙_{2}^{2} + y ˙_{2}^{2} = l^{2} θ ˙_{1}^{2} + l^{2} θ ˙_{2}^{2} + 2 l^{2} θ ˙_{1} θ ˙_{2} cos (θ_{1} - θ_{2})$ 。2 次まで残すと $cos (θ_{1} - θ_{2}) \to 1$ として
$T = \frac{1}{2} m l^{2} (2 θ ˙_{1}^{2} + 2 θ ˙_{1} θ ˙_{2} + θ ˙_{2}^{2}) .$

（手順 3） $U = m g y_{1} + m g y_{2} = - 2 m g l cos θ_{1} - m g l cos θ_{2}$ 。 $cos θ \approx 1 - \frac{θ ^{2}}{2}$ として定数項を捨てると
$U = \frac{1}{2} m g l (2 θ_{1}^{2} + θ_{2}^{2}) .$

（手順 4）
$M = m l^{2} (2111), K = m g l (2001) .$

（手順 5） $λ = \frac{l ω ^{2}}{g}$ とおくと、 $K - ω^{2} M = m g l (2 - 2 λ - λ - λ 1 - λ)$ で、 $m g l \neq = 0$ なので
$(2 - 2 λ) (1 - λ) - λ^{2} = 2 (1 - λ)^{2} - λ^{2} = 0.$
よって $2 (1 - λ) = \pm λ$ 、すなわち $λ = \frac{2}{2 \pm 1} = 2 \mp 2$ 。したがって $ω^{2} = (2 - 2) \frac{g}{l}, (2 + 2) \frac{g}{l}$ で、 $ω > 0$ を取ると、小さい順に
$\frac{( 2 - 2 ) g}{l}, \frac{( 2 + 2 ) g}{l} .$

答え: $\frac{( 2 - 2 ) g}{l}, \frac{( 2 + 2 ) g}{l}$

よくある誤り

二重振り子の下のおもりの運動エネルギーを $\frac{1}{2} m l^{2} θ ˙_{2}^{2}$ だけとし、 $M$ を対角行列 $m l^{2} (2001)$ にしてしまう誤り。正しくは下のおもりの速度は上の棒の回転と下の棒の回転の和なので $\frac{1}{2} m l^{2} (θ ˙_{1}^{2} + 2 θ ˙_{1} θ ˙_{2} + θ ˙_{2}^{2})$ となり、 $M = m l^{2} (2111)$
2 次形式から行列を読み取るとき、 $U = \frac{1}{2} m g l (2 θ_{1}^{2} + θ_{2}^{2})$ の $\frac{1}{2}$ を忘れて $K_{11} = m g l$ としたり、交差項 $m l^{2} θ ˙_{1} θ ˙_{2}$ を半分に分けて $M_{12} = \frac{1}{2} m l^{2}$ としたりする誤り。正しくは $T = \frac{1}{2} \sum M_{ij} q ˙_{i} q ˙_{j}$ と比べて $K_{11} = 2 m g l$ 、 $M_{12} = M_{21} = m l^{2}$
ポテンシャルを 1 次で近似して $1 - cos θ \approx θ$ としたり、 $sin θ \approx θ$ を $U$ にそのまま入れて $U = m g l θ$ のようにしてしまう誤り。正しくは $1 - cos θ \approx \frac{θ ^{2}}{2}$ で、重力のポテンシャルは $m g l (1 - cos θ) \approx \frac{1}{2} m g l θ^{2}$ （2 次）
ばねで結んだ 2 つの振り子（長さ $l$ 、おもりの高さでばね定数 $k$ のばねを水平につなぐ）で、ばねのポテンシャルを $\frac{1}{2} k (θ_{1} - θ_{2})^{2}$ と角度のまま書いてしまう誤り。正しくはばねの伸びはおもりの水平変位の差 $l sin θ_{1} - l sin θ_{2} \approx l (θ_{1} - θ_{2})$ なので $\frac{1}{2} k l^{2} (θ_{1} - θ_{2})^{2}$ で、基準振動は $ω = \frac{g}{l}$ と $\frac{g}{l} + \frac{2 k}{m}$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
同じ高さの 2 点から、長さ $l$ の軽い糸で質量 $m$ の小球をそれぞれつるし、2 つの単振り子をつくる。2 つの小球を、ばね定数 $k$ の軽いばねで水平につなぐ。2 つの振り子がともに鉛直に静止しているとき、ばねは自然長である。振り子は同じ鉛直面内で振動し、それぞれの糸が鉛直線となす角を $θ_{1}$ , $θ_{2}$ （同じ向きを正）とする。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。
$θ_{1}$ , $θ_{2}$ が十分小さいとして、ラグランジアンを $θ_{1}, θ_{2}, θ ˙_{1}, θ ˙_{2}$ について 2 次まで近似する。ばねの伸びは小球の水平方向の変位の差 $l (θ_{2} - θ_{1})$ で近似してよい。このとき、2 つの基準振動の角振動数を、小さい方、大きい方の順に $g, l, k, m$ を用いて求めよ。
$l$ $l$ $k$ $m$ $m$
つり合いの状態

振り子の連成振動（ラグランジアンの 2 次近似）

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題