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振動・波動の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学物理振動・波動

水平でなめらかなレールに沿って一直線上を動ける質量 $m$ の台があり、台はばね定数 $k$ のばねで壁につながれている。台の点 P から長さ $l$ の軽くて伸びない糸で質量 $m$ の小球をつるし、小球はレールを含む鉛直面内で振れる。台の位置（ばねが自然長のときからの変位、レールに沿って右向きを正）を $x$ 、糸が鉛直線となす角を $θ$ とする。重力加速度の大きさを $g$ とし、ばね定数は $k = \frac{m g}{l}$ であるとする。空気抵抗・摩擦・糸とばねの質量は無視する。

$x$ , $θ$ が十分小さい微小振動を考え、 $x, θ, x ˙, θ ˙$ について 2 次までの近似でラグランジアンを書くとき、この系の 2 つの基準振動の角振動数を $ω_{1}$ , $ω_{2}$ （ $0 < ω_{1} < ω_{2}$ ）とする。比 $\frac{ω _{2}}{ω _{1}}$ を求めよ。答えは根号を含む最も簡単な形で表せ。

Pレール

m

k

l

m

x

θ

角度は見やすく大きめに描いてある

この問題で使うもの

振り子の連成振動（ラグランジアンの 2 次近似）（説明と入口の問題）
連成振動と基準振動（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（80 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

台の変位 $x$ と振れ角 $θ$ を一般化座標にして、運動エネルギーと位置エネルギーを 2 次まで近似したラグランジアンを作る。小球の速度には台の速度が加わることに注意する。

ヒント 2

$u = l θ$ , $ω_{0}^{2} = g / l$ とおくと $L = m x ˙^{2} + m x ˙ u ˙ + \frac{1}{2} m u ˙^{2} - \frac{1}{2} m ω_{0}^{2} (x^{2} + u^{2})$ となる。

ヒント 3

基準振動の条件は $(ω_{0}^{2} - 2 ω^{2}) (ω_{0}^{2} - ω^{2}) - ω^{4} = 0$ 。 $λ = ω^{2} / ω_{0}^{2}$ の 2 次方程式を解く。

答えと解説

答えを見る

\frac{3 + 5}{2}

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解説を読む

ラグランジアン

小球の位置は $(x + l sin θ, - l cos θ)$ （P の高さを基準）。速度の 2 乗は
$(x ˙ + l θ ˙ cos θ)^{2} + (l θ ˙ sin θ)^{2} = x ˙^{2} + 2 l x ˙ θ ˙ cos θ + l^{2} θ ˙^{2}$
よって 2 次までの近似で
$K = \frac{1}{2} m x ˙^{2} + \frac{1}{2} m (x ˙^{2} + 2 l x ˙ θ ˙ + l^{2} θ ˙^{2}) = m x ˙^{2} + m l x ˙ θ ˙ + \frac{1}{2} m l^{2} θ ˙^{2}$
$U = \frac{1}{2} k x^{2} - m g l cos θ ≃ \frac{1}{2} k x^{2} + \frac{1}{2} m g l θ^{2} + (定数)$

運動方程式

$u = l θ$ とおき、 $ω_{0}^{2} = \frac{g}{l}$ とすると $k = m ω_{0}^{2}$ なので
$L = m x ˙^{2} + m x ˙ u ˙ + \frac{1}{2} m u ˙^{2} - \frac{1}{2} m ω_{0}^{2} x^{2} - \frac{1}{2} m ω_{0}^{2} u^{2}$
ラグランジュ方程式より（ $m$ で割って）
$2 x ¨ + u ¨ = - ω_{0}^{2} x, x ¨ + u ¨ = - ω_{0}^{2} u$

固有振動数

$x = A cos (ω t + ϕ)$ , $u = B cos (ω t + ϕ)$ を代入すると
$(ω_{0}^{2} - 2 ω^{2} - ω^{2} - ω^{2} ω_{0}^{2} - ω^{2}) (A B) = (00)$
自明でない解の条件は
$(ω_{0}^{2} - 2 ω^{2}) (ω_{0}^{2} - ω^{2}) - ω^{4} = 0 ⟺ ω^{4} - 3 ω_{0}^{2} ω^{2} + ω_{0}^{4} = 0$
$λ = ω^{2} / ω_{0}^{2}$ とおくと $λ^{2} - 3 λ + 1 = 0$ より
$λ = \frac{3 \pm 5}{2}$
どちらも正なので、 $ω_{1}^{2} = \frac{3 - 5}{2} ω_{0}^{2}$ , $ω_{2}^{2} = \frac{3 + 5}{2} ω_{0}^{2}$ 。

比

2 つの $λ$ の積は $1$ なので
$\frac{ω _{2}^{2}}{ω _{1}^{2}} = (\frac{3 + 5}{2})^{2} ∴ \frac{ω _{2}}{ω _{1}} = \frac{3 + 5}{2}$
（ $\frac{3 \pm 5}{2} = (\frac{5 \pm 1}{2})^{2}$ なので、 $ω_{1, 2} = \frac{5 \mp 1}{2} \frac{g}{l}$ とも書ける。）

別解

台の速度 $x ˙$ 、小球の速度の成分 $(x ˙ + l θ ˙ cos θ, l θ ˙ sin θ)$ より $L = \frac{1}{2} m x ˙^{2} + \frac{1}{2} m (x ˙^{2} + 2 l x ˙ θ ˙ cos θ + l^{2} θ ˙^{2}) - \frac{1}{2} k x^{2} + m g l cos θ$ 。2 次までの近似（定数は除く）： $L ≃ m x ˙^{2} + m l x ˙ θ ˙ + \frac{1}{2} m l^{2} θ ˙^{2} - \frac{1}{2} k x^{2} - \frac{1}{2} m g l θ^{2}$ 。運動方程式： $2 m x ¨ + m l θ ¨ + k x = 0$ 、 $m l x ¨ + m l^{2} θ ¨ + m g l θ = 0$ 。 $k = m g / l$ 、 $u = x / l$ 、 $ω_{0}^{2} = g / l$ として、 $2 u ¨ + θ ¨ + ω_{0}^{2} u = 0$ 、 $u ¨ + θ ¨ + ω_{0}^{2} θ = 0$ 。 $e^{iω t}$ の解を仮定し $s = ω^{2} / ω_{0}^{2}$ とおくと $(1 - 2 s) u - s θ = 0$ 、 $- s u + (1 - s) θ = 0$ 。行列式： $(1 - 2 s) (1 - s) - s^{2} = s^{2} - 3 s + 1 = 0$ 、 $s = \frac{3 \pm 5}{2}$ 。 $\frac{ω _{2}^{2}}{ω _{1}^{2}} = \frac{3 + 5}{3 - 5} = \frac{( 3 + 5 ) ^{2}}{4}$ より $\frac{ω _{2}}{ω _{1}} = \frac{3 + 5}{2}$ 。検算： $s_{1} + s_{2} = 3$ 、 $s_{1} s_{2} = 1$ が解と係数の関係に一致し、 $s_{2} / s_{1} \approx 2.618/0.382 = 6.854 = (\frac{3 + 5}{2})^{2}$ 。ただし $ω_{2} / ω_{1} = s_{2} / s_{1} = 6.854 \approx 2.618 = \frac{3 + 5}{2}$ 。

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