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振動・波動の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理振動・波動

天井の点 O から、長さ $l$ の軽くて伸びない糸で質量 $m$ の小球 A をつるし、さらに A から長さ $l$ の軽くて伸びない糸で質量 $m$ の小球 B をつるした二重振り子を考える。2 つの小球は O を含む同じ鉛直面内だけで運動し、上の糸と下の糸が鉛直線となす角をそれぞれ $θ_{1}$ , $θ_{2}$ とする。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗や糸の質量は無視する。

$θ_{1}$ , $θ_{2}$ が十分小さい微小振動を考え、 $θ_{1}, θ_{2}, θ ˙_{1}, θ ˙_{2}$ について 2 次までの近似でラグランジアンを書くとき、この系の 2 つの基準振動の角振動数を $ω_{1}$ , $ω_{2}$ （ $0 < ω_{1} < ω_{2}$ ）とする。比 $\frac{ω _{2}}{ω _{1}}$ を求めよ。

OAB

l

l

m

m

θ_{1}

θ_{2}

角度は見やすく大きめに描いてある

この問題で使うもの

振り子の連成振動（ラグランジアンの 2 次近似）（説明と入口の問題）
連成振動と基準振動（説明と入口の問題）
行列式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（80 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

小球 A, B の座標を $θ_{1}$ , $θ_{2}$ で表し、運動エネルギーと位置エネルギーを 2 次まで近似してラグランジアンを作る。

ヒント 2

$L ≃ m l^{2} θ ˙_{1}^{2} + \frac{1}{2} m l^{2} θ ˙_{2}^{2} + m l^{2} θ ˙_{1} θ ˙_{2} - m g l θ_{1}^{2} - \frac{1}{2} m g l θ_{2}^{2}$ 。ここから 2 本の運動方程式を立てる。

ヒント 3

$θ_{i} \propto cos (ω t + ϕ)$ を代入すると、条件は $2 (ω_{0}^{2} - ω^{2})^{2} = ω^{4}$ （ $ω_{0}^{2} = g / l$ ）となる。

答えと解説

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解説を読む

ラグランジアン

O を原点とし、水平右向きに $x$ 、鉛直上向きに $y$ をとると
$x_{A} = l sin θ_{1}, y_{A} = - l cos θ_{1}, x_{B} = l sin θ_{1} + l sin θ_{2}, y_{B} = - l cos θ_{1} - l cos θ_{2}$
運動エネルギーは
$K = \frac{1}{2} m l^{2} θ ˙_{1}^{2} + \frac{1}{2} m l^{2} [θ ˙_{1}^{2} + θ ˙_{2}^{2} + 2 θ ˙_{1} θ ˙_{2} cos (θ_{1} - θ_{2})]$
位置エネルギーは
$U = - m g l cos θ_{1} - m g l (cos θ_{1} + cos θ_{2}) = - 2 m g l cos θ_{1} - m g l cos θ_{2}$
2 次までの近似（ $cos (θ_{1} - θ_{2}) ≃ 1$ , $cos θ ≃ 1 - θ^{2} /2$ 、定数は省略）で
$L = K - U ≃ m l^{2} θ ˙_{1}^{2} + \frac{1}{2} m l^{2} θ ˙_{2}^{2} + m l^{2} θ ˙_{1} θ ˙_{2} - m g l θ_{1}^{2} - \frac{1}{2} m g l θ_{2}^{2}$

運動方程式

ラグランジュ方程式から（両辺を $m l^{2}$ で割り、 $ω_{0}^{2} = g / l$ とおく）
$2 θ ¨_{1} + θ ¨_{2} = - 2 ω_{0}^{2} θ_{1}$
$θ ¨_{1} + θ ¨_{2} = - ω_{0}^{2} θ_{2}$

固有振動数

$θ_{1} = A_{1} cos (ω t + ϕ)$ , $θ_{2} = A_{2} cos (ω t + ϕ)$ を代入すると
$(2 ω_{0}^{2} - 2 ω^{2} - ω^{2} - ω^{2} ω_{0}^{2} - ω^{2}) (A_{1} A_{2}) = (00)$
自明でない解をもつ条件は
$2 (ω_{0}^{2} - ω^{2})^{2} - ω^{4} = 0$
$λ = ω^{2} / ω_{0}^{2}$ とおくと $2 (1 - λ)^{2} = λ^{2}$ 、よって $2 (1 - λ) = \pm λ$ から
$λ = \frac{2}{2 \pm 1} = 2 \mp 2$
したがって $ω_{1}^{2} = (2 - 2) \frac{g}{l}$ , $ω_{2}^{2} = (2 + 2) \frac{g}{l}$ 。

比

$\frac{ω _{2}^{2}}{ω _{1}^{2}} = \frac{2 + 2}{2 - 2} = \frac{( 2 + 2 ) ^{2}}{4 - 2} = \frac{6 + 4 2}{2} = 3 + 22 = (1 + 2)^{2}$
よって
$\frac{ω _{2}}{ω _{1}} = 1 + 2$

別解

ラグランジアンは $L = \frac{1}{2} m l^{2} (2 θ ˙_{1}^{2} + θ ˙_{2}^{2} + 2 θ ˙_{1} θ ˙_{2} cos (θ_{1} - θ_{2})) + m g l (2 cos θ_{1} + cos θ_{2})$ 。2 次近似で $L ≃ \frac{1}{2} m l^{2} (2 θ ˙_{1}^{2} + θ ˙_{2}^{2} + 2 θ ˙_{1} θ ˙_{2}) - m g l (θ_{1}^{2} + \frac{1}{2} θ_{2}^{2}) + 定数$ 。運動方程式： $2 l θ ¨_{1} + l θ ¨_{2} + 2 g θ_{1} = 0$ 、 $l θ ¨_{1} + l θ ¨_{2} + g θ_{2} = 0$ 。 $θ_{i} = c_{i} e^{iω t}$ 、 $s = l ω^{2} / g$ とおくと $(2 - 2 s) c_{1} - s c_{2} = 0$ 、 $- s c_{1} + (1 - s) c_{2} = 0$ 。行列式： $(2 - 2 s) (1 - s) - s^{2} = 0$ より $s^{2} - 4 s + 2 = 0$ 、 $s = 2 \pm 2$ 。よって $ω_{1}^{2} = (2 - 2) \frac{g}{l}$ 、 $ω_{2}^{2} = (2 + 2) \frac{g}{l}$ 。 $\frac{ω _{2}^{2}}{ω _{1}^{2}} = \frac{2 + 2}{2 - 2} = \frac{( 2 + 2 ) ^{2}}{2} = 3 + 22 = (1 + 2)^{2}$ 。したがって $\frac{ω _{2}}{ω _{1}} = 1 + 2$ 。検算： $s_{1} + s_{2} = 4$ 、 $s_{1} s_{2} = 2$ が解と係数の関係に一致し、 $3.414/0.586 \approx 2.414 = 1 + 2$ 。

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