この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

振動・波動の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学物理振動・波動

同じ高さの 2 点から、長さ $l$ の軽い糸で質量 $m$ の小球をそれぞれつるし、2 つの単振り子をつくる。2 つの小球を、ばね定数 $k$ の軽いばねで水平につなぐ。2 つの振り子がともに鉛直に静止しているとき、ばねは自然長である。振り子は同じ鉛直面内で振動し、それぞれの糸が鉛直線となす角を $θ_{1}$ , $θ_{2}$ （同じ向きを正）とする。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。

$θ_{1}$ , $θ_{2}$ が十分小さいとして、ラグランジアンを $θ_{1}, θ_{2}, θ ˙_{1}, θ ˙_{2}$ について 2 次まで近似する。ばねの伸びは小球の水平方向の変位の差 $l (θ_{2} - θ_{1})$ で近似してよい。このとき、2 つの基準振動の角振動数を、小さい方、大きい方の順に $g, l, k, m$ を用いて求めよ。

l

l

k

m

m

つり合いの状態

この問題で使うもの

振り子の連成振動（ラグランジアンの 2 次近似）（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（80 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

振り子の連成振動（ラグランジアンの 2 次近似）の技能を使う。 $T$ と $U$ を $θ_{i}$ , $θ ˙_{i}$ の 2 次式で書き、質量行列 $M$ と剛性行列 $K$ を読み取ろう。

ヒント 2

$1 - cos θ \approx \frac{θ ^{2}}{2}$ を使うと、 $U = \frac{1}{2} m g l (θ_{1}^{2} + θ_{2}^{2}) + \frac{1}{2} k l^{2} (θ_{2} - θ_{1})^{2}$ となる。

ヒント 3

$K = (m g l + k l^{2} - k l^{2} - k l^{2} m g l + k l^{2})$ , $M = m l^{2} E$ として $det (K - ω^{2} M) = 0$ を解く。 $(m g l + k l^{2} - m l^{2} ω^{2})^{2} = (k l^{2})^{2}$ となる。

答えと解説

答えを見る

(\frac{g}{l}, \frac{g}{l} + \frac{2 k}{m})

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

1. 運動エネルギーとポテンシャルを 2 次まで近似する

小球の速さは $l θ ˙_{i}$ なので、運動エネルギーは

$T = \frac{1}{2} m l^{2} θ ˙_{1}^{2} + \frac{1}{2} m l^{2} θ ˙_{2}^{2}$

小球の高さは最下点から $l (1 - cos θ_{i}) \approx \frac{1}{2} l θ_{i}^{2}$ だから、重力のポテンシャルは $\frac{1}{2} m g l (θ_{1}^{2} + θ_{2}^{2})$ 。ばねの伸びは $l (θ_{2} - θ_{1})$ なので、弾性エネルギーは $\frac{1}{2} k l^{2} (θ_{2} - θ_{1})^{2}$ 。よって

$U = \frac{1}{2} m g l (θ_{1}^{2} + θ_{2}^{2}) + \frac{1}{2} k l^{2} (θ_{2} - θ_{1})^{2}$

ラグランジアンは $L = T - U$ である。

2. 質量行列と剛性行列を読み取る

$T = \frac{1}{2} θ ˙^{T} M θ ˙$ , $U = \frac{1}{2} θ^{T} K θ$ の形に書くと

$M = (m l^{2} 0 0 m l^{2}), K = (m g l + k l^{2} - k l^{2} - k l^{2} m g l + k l^{2})$

ラグランジュ方程式 $\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial θ ˙ _{i}} - \frac{\partial L}{\partial θ _{i}} = 0$ から $M θ ¨ = - K θ$ が得られる。

3. $det (K - ω^{2} M) = 0$ を解く

$a = m g l + k l^{2} - m l^{2} ω^{2}$ とおくと

$det (K - ω^{2} M) = a^{2} - (k l^{2})^{2} = 0 ⟹ a = \pm k l^{2}$

$a = k l^{2}$ : $m g l = m l^{2} ω^{2}$ より $ω^{2} = \frac{g}{l}$ （ $θ_{1} = θ_{2}$ 、同じ向きに振れてばねが伸び縮みしない）
$a = - k l^{2}$ : $m g l + 2 k l^{2} = m l^{2} ω^{2}$ より $ω^{2} = \frac{g}{l} + \frac{2 k}{m}$ （ $θ_{1} = - θ_{2}$ 、逆向きに振れる）

$ω > 0$ だから、小さい方、大きい方の順に

$\frac{g}{l}, \frac{g}{l} + \frac{2 k}{m}$

答え: $(\frac{g}{l}, \frac{g}{l} + \frac{2 k}{m})$

別解

微小振動で、ラグランジアンは $L = \frac{1}{2} m l^{2} (θ ˙_{1}^{2} + θ ˙_{2}^{2}) - \frac{1}{2} m g l (θ_{1}^{2} + θ_{2}^{2}) - \frac{1}{2} k l^{2} (θ_{2} - θ_{1})^{2}$ 。運動方程式は $m l^{2} θ ¨_{1} = - m g l θ_{1} + k l^{2} (θ_{2} - θ_{1})$ 、 $m l^{2} θ ¨_{2} = - m g l θ_{2} - k l^{2} (θ_{2} - θ_{1})$ 。 $q_{+} = θ_{1} + θ_{2}$ 、 $q_{-} = θ_{1} - θ_{2}$ とすると $q ¨_{+} = - \frac{g}{l} q_{+}$ 、 $q ¨_{-} = - (\frac{g}{l} + \frac{2 k}{m}) q_{-}$ 。基準振動の角振動数は、同位相モードで $ω_{1} = \frac{g}{l}$ 、逆位相モードで $ω_{2} = \frac{g}{l} + \frac{2 k}{m}$ 。 $k > 0$ なので $ω_{1} < ω_{2}$ 。検算: $k \to 0$ で 2 つとも単振り子の $g / l$ に一致する。

振動・波動の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題