振動・波動の問題

水平でなめらかなレールに沿って一直線上を動ける質量 $m$ の台があり、台はばね定数 $k$ のばねで壁につながれている。台の点 P から長さ $l$ の軽くて伸びない糸で質量 $m$ の小球をつるし、小球はレールを含む鉛直面内で振れる。台の位置（ばねが自然長のときからの変位、レールに沿って右向きを正）を $x$、糸が鉛直線となす角を $\theta$ とする。重力加速度の大きさを $g$ とし、ばね定数は $k=\frac{mg}{l}$ であるとする。空気抵抗・摩擦・糸とばねの質量は無視する。

$x$, $\theta$ が十分小さい微小振動を考え、$x,\theta ,\dot{x},\dot{\theta }$ について 2 次までの近似でラグランジアンを書くとき、この系の 2 つの基準振動の角振動数を ${\omega }_1$, ${\omega }_2$（$0<{\omega }_1<{\omega }_2$）とする。比 $\frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}$ を求めよ。答えは根号を含む最も簡単な形で表せ。

なめらかな水平面上で、質量 $m$ の物体 A と質量 $m$ の物体 B が一直線上に並んでいる。左の壁と A がばね定数 $2k$ のばねで、A と B がばね定数 $k$ のばねでつながれており、B の右側には何もつながれていない（$m>0$, $k>0$）。つり合いの位置ではどちらのばねも自然長である。物体はばねの方向（一直線上）だけを運動し、ばねの質量と空気抵抗は無視する。

この系の 2 つの基準振動の角振動数のうち、大きい方を ${\omega }_{+}$、小さい方を ${\omega }_{-}$ とする。比 $\frac{{\omega }_{+}}{{\omega }_{-}}$ を求めよ。

天井の点 O から、長さ $l$ の軽くて伸びない糸で質量 $m$ の小球 A をつるし、さらに A から長さ $l$ の軽くて伸びない糸で質量 $m$ の小球 B をつるした二重振り子を考える。2 つの小球は O を含む同じ鉛直面内だけで運動し、上の糸と下の糸が鉛直線となす角をそれぞれ ${\theta }_1$, ${\theta }_2$ とする。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗や糸の質量は無視する。

${\theta }_1$, ${\theta }_2$ が十分小さい微小振動を考え、${\theta }_1,{\theta }_2,{\dot{\theta }}_1,{\dot{\theta }}_2$ について 2 次までの近似でラグランジアンを書くとき、この系の 2 つの基準振動の角振動数を ${\omega }_1$, ${\omega }_2$（$0<{\omega }_1<{\omega }_2$）とする。比 $\frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}$ を求めよ。

天井に、ばね定数 $k$ の軽いばね 1 の上端を固定し、その下端に質量 $m$ の小物体 A をつけた。さらに A の下に、ばね定数 $k$ の軽いばね 2 の上端をつけ、その下端に質量 $m$ の小物体 B をつけた（$m>0$, $k>0$）。A, B は同じ鉛直線上で、鉛直方向にだけ運動する。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。

つり合いの位置からの A, B の変位を、鉛直下向きを正としてそれぞれ $x_1,x_2$ とする。この系の 2 つの基準振動のうち、角振動数が小さい方の基準振動では、$x_1$ と $x_2$ は $x_1=a_1\cos (\omega t+\varphi )$、$x_2=a_2\cos (\omega t+\varphi )$（$a_2\ne 0$）の形で振動する。このときの振幅の比 $\frac{a_1}{a_2}$ を求めよ。

なめらかな水平面上で、質量 $m$ の物体 A と質量 $2m$ の物体 B が一直線上に並んでいる。左の壁と A、A と B、B と右の壁が、それぞればね定数 $k$ の 3 本のばねでつながれている。つり合いの位置ではどのばねも自然長であり、A, B はばねの方向（一直線上）にだけ運動するものとする。

この系の 2 つの基準振動の角振動数を ${\omega }_1$, ${\omega }_2$（$0<{\omega }_1<{\omega }_2$）とするとき、比 $\frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}$ を求めよ。答えは根号を含む最も簡単な形で表せ。