振動・波動の問題

なめらかな水平面上で、質量 $m$ の物体 A と質量 $m$ の物体 B が一直線上に並んでいる。左の壁と A がばね定数 $2k$ のばねで、A と B がばね定数 $k$ のばねでつながれており、B の右側には何もつながれていない（$m>0$, $k>0$）。つり合いの位置ではどちらのばねも自然長である。物体はばねの方向（一直線上）だけを運動し、ばねの質量と空気抵抗は無視する。

この系の 2 つの基準振動の角振動数のうち、大きい方を ${\omega }_{+}$、小さい方を ${\omega }_{-}$ とする。比 $\frac{{\omega }_{+}}{{\omega }_{-}}$ を求めよ。

なめらかな水平面上に、質量 $4m$ の小物体 A、質量 $3m$ の小物体 B、質量 $4m$ の小物体 C をこの順に一直線上に並べる。A と B、B と C を、ばね定数 $k$ の軽いばねでそれぞれつないだ（$m>0$, $k>0$）。A, B, C の外側には何もつながれていない。物体はばねの方向（直線方向）にだけ動くものとし、摩擦と空気抵抗は無視する。

この系の基準振動のうち、角振動数が $0$ でないものは 2 つある。その角振動数を大きい方から ${\omega }_{+}$、小さい方を ${\omega }_{-}$ とするとき、比 $\frac{{\omega }_{+}}{{\omega }_{-}}$ を求めよ。答えは根号を用いた正確な値で答えよ。

なめらかな水平面上で、質量 $m$ の物体 A と質量 $2m$ の物体 B が一直線上に並んでいる。左の壁と A、A と B、B と右の壁が、それぞればね定数 $k$ の 3 本のばねでつながれている。つり合いの位置ではどのばねも自然長であり、A, B はばねの方向（一直線上）にだけ運動するものとする。

この系の 2 つの基準振動の角振動数を ${\omega }_1$, ${\omega }_2$（$0<{\omega }_1<{\omega }_2$）とするとき、比 $\frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}$ を求めよ。答えは根号を含む最も簡単な形で表せ。

同じ高さの 2 点から、長さ $l$ の軽い糸で質量 $m$ の小球をそれぞれつるし、2 つの単振り子をつくる。2 つの小球を、ばね定数 $k$ の軽いばねで水平につなぐ。2 つの振り子がともに鉛直に静止しているとき、ばねは自然長である。振り子は同じ鉛直面内で振動し、それぞれの糸が鉛直線となす角を ${\theta }_1$, ${\theta }_2$（同じ向きを正）とする。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。

${\theta }_1$, ${\theta }_2$ が十分小さいとして、ラグランジアンを ${\theta }_1,{\theta }_2,{\dot{\theta }}_1,{\dot{\theta }}_2$ について 2 次まで近似する。ばねの伸びは小球の水平方向の変位の差 $l({\theta }_2-{\theta }_1)$ で近似してよい。このとき、2 つの基準振動の角振動数を、小さい方、大きい方の順に $g,l,k,m$ を用いて求めよ。

なめらかな水平面上で、質量 $m=2.0\mathrm{kg}$ の物体がばね定数 $k=54N/m$ のばねで壁につながれ、速度に比例する抵抗力 $-b\dot{x}$（$b=4.0kg/s$）と外力 $F_0\cos \omega t$（$F_0>0$ は定数）を受けて、ばねの方向に一直線上を運動する。つり合いの位置からの変位を $x$ とすると、運動方程式は

$$m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=F_0\cos \omega t$$

である。外力の角振動数 $\omega (>0)$ をいろいろに変えるとき、定常状態での振動の振幅が最大になる $\omega$ は何 $rad/s$ か。整数で求めよ。