振動・波動の問題

水平な床の上で、質量 $m=0.50\mathrm{kg}$ の物体がばね定数 $k=50N/m$ のばねで壁につながれている。物体は速度に比例する抵抗力 $-b\dot{x}$（$b=3.0kg/s$）を受け、さらに水平方向の外力 $F_0\cos \omega t$（$F_0=2.0\mathrm{N}$, $\omega =8.0rad/s$）を受けて、ばねの方向に一直線上を運動する。つり合いの位置からの変位を $x$ とすると、運動方程式は

$$m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=F_0\cos \omega t$$

である（抵抗力以外の摩擦は無視する）。十分に時間がたったあとの定常状態での振動の振幅は何 $\mathrm{m}$ か。既約分数で求めよ。

なめらかな水平面上で、質量 $m=0.50\mathrm{kg}$ の物体が、ばね定数 $k=50N/m$ のばねで壁につながれている。物体は、ばねの方向（$x$ 軸方向）にだけ運動し、速度 $\dot{x}$ に比例する抵抗力 $-b\dot{x}$（$b=6.0kg/s$）を受ける。ばねが自然長のときの物体の位置を $x=0$ とすると、運動方程式は
$$m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=0$$
である。与えられた数値は正確な値として扱う。

この物体は減衰振動をする。その角振動数 ${\omega }_d$ を $rad/s$ 単位で求めよ。

質量 $m$ の物体がばね定数 $k$ のばねにつながれ、なめらかな水平面上で一直線上を運動する。物体には速度に比例する抵抗力 $-b\dot{x}$ がはたらき、さらに外力 $F_0\cos \omega t$ が加えられている（$x$ はつりあいの位置からの変位、$F_0>0$, $\omega >0$）。抵抗の係数は $b=\frac{1}{2}\sqrt{mk}$ である。

十分時間がたった後の定常振動の振幅を $A(\omega )$ とする。外力の角振動数 $\omega$ を $0<\omega <\infty$ の範囲で変えたときの $A(\omega )$ の最大値を $A_{\max }$ とし、$\omega \to +0$ の極限での振幅を $A_0=\underset{\omega \to +0}{\lim }A(\omega )$ とする。比 $\frac{A_{\max }}{A_0}$ を求めよ。答えは根号を含む正確な値で表せ。

なめらかな水平面上で、2 つの固定された壁のあいだに、質量がともに $m$ の小物体 A, B を一直線上に並べ、左の壁と A、A と B、B と右の壁を、ばね定数がすべて $k$ の 3 本の軽いばねでつなぐ。つり合いの位置ではどのばねも自然長である。A, B のつり合いの位置からの右向きの変位をそれぞれ $x_1$, $x_2$ とし、運動はばねの方向（一直線上）に限られるとする。摩擦と空気抵抗は無視する。

この系の 2 つの基準振動の角振動数を、小さい方、大きい方の順に、$k$, $m$ を用いて求めよ。

質量 $M$ の同じ原子が、直線上に間隔 $a$ で無限に並んでいる（$M>0$, $a>0$）。隣り合う原子どうしだけが、ばね定数 $K(K>0)$ の軽いばねでつながれており、原子は直線に沿った方向にだけ微小振動する。$n$ 番目の原子のつり合いの位置からの変位を $u_n$ とすると、運動方程式は
$$M{\ddot{u}}_n=K(u_{n+1}-2u_n+u_{n-1})(n\text{ は整数})$$
である。

この格子を伝わる波 $u_n=A\cos (kna-\omega t)$（$A\ne 0$, $\omega >0$）を考える。波数が $k=\frac{\pi }{2a}$ のときの、群速度 $v_{\mathrm{g}}=\frac{d\omega }{dk}$ と位相速度 $v_{\mathrm{p}}=\frac{\omega }{k}$ の比 $\frac{v_{\mathrm{g}}}{v_{\mathrm{p}}}$ を求めよ。