振動・波動の問題

なめらかな水平面上で、質量 $m=2.0\mathrm{kg}$ の物体がばね定数 $k=54N/m$ のばねで壁につながれ、速度に比例する抵抗力 $-b\dot{x}$（$b=4.0kg/s$）と外力 $F_0\cos \omega t$（$F_0>0$ は定数）を受けて、ばねの方向に一直線上を運動する。つり合いの位置からの変位を $x$ とすると、運動方程式は

$$m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=F_0\cos \omega t$$

である。外力の角振動数 $\omega (>0)$ をいろいろに変えるとき、定常状態での振動の振幅が最大になる $\omega$ は何 $rad/s$ か。整数で求めよ。

水平な床の上で、質量 $m=0.50\mathrm{kg}$ の物体がばね定数 $k=50N/m$ のばねで壁につながれている。物体は速度に比例する抵抗力 $-b\dot{x}$（$b=3.0kg/s$）を受け、さらに水平方向の外力 $F_0\cos \omega t$（$F_0=2.0\mathrm{N}$, $\omega =8.0rad/s$）を受けて、ばねの方向に一直線上を運動する。つり合いの位置からの変位を $x$ とすると、運動方程式は

$$m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=F_0\cos \omega t$$

である（抵抗力以外の摩擦は無視する）。十分に時間がたったあとの定常状態での振動の振幅は何 $\mathrm{m}$ か。既約分数で求めよ。

なめらかな水平面上で、2 つの固定された壁のあいだに、質量がともに $m$ の小物体 A, B を一直線上に並べ、左の壁と A、A と B、B と右の壁を、ばね定数がすべて $k$ の 3 本の軽いばねでつなぐ。つり合いの位置ではどのばねも自然長である。A, B のつり合いの位置からの右向きの変位をそれぞれ $x_1$, $x_2$ とし、運動はばねの方向（一直線上）に限られるとする。摩擦と空気抵抗は無視する。

この系の 2 つの基準振動の角振動数を、小さい方、大きい方の順に、$k$, $m$ を用いて求めよ。

なめらかな水平面上に、質量 $4m$ の小物体 A、質量 $3m$ の小物体 B、質量 $4m$ の小物体 C をこの順に一直線上に並べる。A と B、B と C を、ばね定数 $k$ の軽いばねでそれぞれつないだ（$m>0$, $k>0$）。A, B, C の外側には何もつながれていない。物体はばねの方向（直線方向）にだけ動くものとし、摩擦と空気抵抗は無視する。

この系の基準振動のうち、角振動数が $0$ でないものは 2 つある。その角振動数を大きい方から ${\omega }_{+}$、小さい方を ${\omega }_{-}$ とするとき、比 $\frac{{\omega }_{+}}{{\omega }_{-}}$ を求めよ。答えは根号を用いた正確な値で答えよ。

質量 $m$ の物体がばね定数 $k$ のばねにつながれ、なめらかな水平面上で一直線上を運動する。物体には速度に比例する抵抗力 $-b\dot{x}$ がはたらき、さらに外力 $F_0\cos \omega t$ が加えられている（$x$ はつりあいの位置からの変位、$F_0>0$, $\omega >0$）。抵抗の係数は $b=\frac{1}{2}\sqrt{mk}$ である。

十分時間がたった後の定常振動の振幅を $A(\omega )$ とする。外力の角振動数 $\omega$ を $0<\omega <\infty$ の範囲で変えたときの $A(\omega )$ の最大値を $A_{\max }$ とし、$\omega \to +0$ の極限での振幅を $A_0=\underset{\omega \to +0}{\lim }A(\omega )$ とする。比 $\frac{A_{\max }}{A_0}$ を求めよ。答えは根号を含む正確な値で表せ。