減衰振動

速度に比例する抵抗を受ける振動 $m x ¨ + b x ˙ + k x = 0$ を解き、減衰の強さで過減衰・臨界減衰・減衰振動を判定して、減衰振動の角振動数 $ω_{d} = ω_{0}^{2} - γ^{2}$ （ $γ = b /2 m$ ）や、続く極大値の比 $e^{- γ T_{d}}$ （対数減衰率）から $γ$ , $ω_{0}$ を求められる

前提

単振動の変位・速度・加速度の式（高校物理円運動・単振動・万有引力）
定数係数 2 階線形（斉次）（大学数学微分方程式）

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算数中学高校大学大学院

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定数係数 2 階線形（斉次）（大学数学微分方程式）

説明

ばねにつながれた物体が、速度に比例する抵抗力 $- b x ˙$ （ $b > 0$ ）を受けながら運動するときの運動方程式 $m x ¨ + b x ˙ + k x = 0$ を解く技能です。 $γ = \frac{b}{2 m}$ と $ω_{0} = \frac{k}{m}$ の大小によって、振動しながら振幅が小さくなる「減衰振動」、振動せずに戻る「過減衰」、その境目の「臨界減衰」に分けられます。減衰振動では角振動数 $ω_{d} = ω_{0}^{2} - γ^{2}$ を求めたり、続く極大値の比 $e^{- γ T_{d}}$ を測って $γ$ や $ω_{0}$ を求めたりできます。自動車のサスペンション、計器の針の動き、LC 回路に抵抗がある場合などで使います。

なぜそうしてよいのか

運動方程式を $m$ で割り、 $γ = \frac{b}{2 m}$ , $ω_{0}^{2} = \frac{k}{m}$ とおくと
$x ¨ + 2 γ x ˙ + ω_{0}^{2} x = 0$
という定数係数 2 階線形（斉次）微分方程式になります。 $x = e^{λ t}$ を代入すると特性方程式 $λ^{2} + 2 γ λ + ω_{0}^{2} = 0$ が得られ、その解は $λ = - γ \pm γ^{2} - ω_{0}^{2}$ です。根号の中の符号で 3 つの場合に分かれます。
- $γ > ω_{0}$ （過減衰）: 異なる 2 つの負の実数解 $λ_{\pm}$ で、 $x = C_{1} e^{λ_{+} t} + C_{2} e^{λ_{-} t}$ 。振動せずに 0 に近づく。
- $γ = ω_{0}$ （臨界減衰）: 重解 $λ = - γ$ で、 $x = (C_{1} + C_{2} t) e^{- γ t}$ 。振動せずに最も速く 0 に近づく境目。
- $γ < ω_{0}$ （減衰振動）: 虚数解 $λ = - γ \pm i ω_{d}$ （ $ω_{d} = ω_{0}^{2} - γ^{2}$ ）で、オイラーの公式から実数の解は $x = A e^{- γ t} cos (ω_{d} t + ϕ)$ （ $A, ϕ$ は初期条件で決まる定数）。

減衰振動の解は、角振動数 $ω_{d}$ の単振動の振幅が $A e^{- γ t}$ のように指数関数的に小さくなっていく形です。抵抗があると 1 往復にかかる時間が少し長くなるので、 $ω_{d}$ は $ω_{0}$ より小さくなります。

$x ˙ = - A e^{- γ t} [γ cos (ω_{d} t + ϕ) + ω_{d} sin (ω_{d} t + ϕ)] = 0$ となるのは $tan (ω_{d} t + ϕ) = - \frac{γ}{ω _{d}}$ のときで、極大はこの条件を満たす時刻のうち 1 つおきに現れるので、続く極大の時刻の差はちょうど $T_{d} = \frac{2 π}{ω _{d}}$ です。そのとき $cos$ の値は同じなので、続く極大値の比は $\frac{x ( t + T _{d} )}{x ( t )} = e^{- γ T_{d}}$ となります。この比の対数の符号を変えた $δ = γ T_{d}$ を対数減衰率といい、 $δ$ と $T_{d}$ を測れば $γ = \frac{δ}{T _{d}}$ 、 $ω_{0} = ω_{d}^{2} + γ^{2}$ と求まります。

手順

運動方程式を $m$ で割り、 $γ = \frac{b}{2 m}$ と $ω_{0} = \frac{k}{m}$ を計算する
特性方程式 $λ^{2} + 2 γ λ + ω_{0}^{2} = 0$ の解 $λ = - γ \pm γ^{2} - ω_{0}^{2}$ を求め、 $γ$ と $ω_{0}$ の大小で判定する（ $γ > ω_{0}$ 過減衰、 $γ = ω_{0}$ 臨界減衰、 $γ < ω_{0}$ 減衰振動）
減衰振動なら $ω_{d} = ω_{0}^{2} - γ^{2}$ 、周期 $T_{d} = \frac{2 π}{ω _{d}}$ を求め、一般解 $x = A e^{- γ t} cos (ω_{d} t + ϕ)$ を書く
続く極大値の比 $r$ が与えられたら、 $r = e^{- γ T_{d}}$ から $γ = - \frac{lo g r}{T _{d}}$ （対数減衰率 $δ = γ T_{d}$ ）を求め、 $ω_{0} = ω_{d}^{2} + γ^{2}$ を求める
初期条件が与えられていれば、それを使って定数 $A, ϕ$ （または $C_{1}, C_{2}$ ）を決める

例題

質量 $1 kg$ の物体が、ばね定数 $10 N/m$ のばねにつながれ、速度に比例する抵抗力 $- b x ˙$ （ $b = 2 kg/s$ ）を受けて直線上を運動する。運動方程式は $x ¨ + 2 x ˙ + 10 x = 0$ である。この運動が減衰振動であることを確かめ、その角振動数 $ω_{d}$ を $rad/s$ 単位で求めよ。

例題の解答

手順1: $γ = \frac{b}{2 m} = \frac{2}{2 \times 1} = 1 s^{- 1}$ 、 $ω_{0} = \frac{10}{1} = 10 rad/s$ 。

手順2: 特性方程式は $λ^{2} + 2 λ + 10 = 0$ で、 $λ = - 1 \pm 1 - 10 = - 1 \pm 3 i$ 。 $γ = 1 < ω_{0} = 10$ なので減衰振動である。

手順3: $ω_{d} = ω_{0}^{2} - γ^{2} = 10 - 1 = 3 rad/s$
一般解は $x = A e^{- t} cos (3 t + ϕ)$ 、周期は $T_{d} = \frac{2 π}{3} s$ である。

手順4（参考）: 続く極大値の比は $e^{- γ T_{d}} = e^{- 2 π /3}$ 、対数減衰率は $δ = \frac{2 π}{3}$ 。

よって $ω_{d} = 3 rad/s$ である。

答え: $3$

よくある誤り

$γ$ を $\frac{b}{m}$ としてしまう誤り。 $x ¨ + \frac{b}{m} x ˙ + \frac{k}{m} x = 0$ を $x ¨ + 2 γ x ˙ + ω_{0}^{2} x = 0$ と比べるので $γ = \frac{b}{2 m}$ である。例題で $γ = 2$ とすると $ω_{d} = 6$ と誤る。
減衰振動の角振動数を $ω_{0}$ のままにしたり、 $ω_{d} = ω_{0} - γ$ や $ω_{0}^{2} + γ^{2}$ としてしまう誤り。正しくは $ω_{d} = ω_{0}^{2} - γ^{2}$ で、 $ω_{d} < ω_{0}$ である。
判定の基準を $b$ と $k$ の直接の比較（ $b > k$ なら過減衰など）にしてしまう誤り。比べるのは $γ = \frac{b}{2 m}$ と $ω_{0} = \frac{k}{m}$ 、つまり $b^{2}$ と $4 mk$ の大小である（ $b^{2} > 4 mk$ で過減衰、 $b^{2} = 4 mk$ で臨界減衰、 $b^{2} < 4 mk$ で減衰振動）。
続く極大値の比を $e^{- γ T_{d} /2}$ や $e^{- 2 γ T_{d}}$ としてしまう誤り。振幅は $A e^{- γ t}$ で、続く極大の時間間隔は $T_{d}$ なので比は $e^{- γ T_{d}}$ である（半周期 $T_{d} /2$ ごとに比べるのは、極大と極小の大きさの比 $e^{- γ T_{d} /2}$ ）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
なめらかな水平面上で、質量 $m = 0.50 kg$ の物体が、ばね定数 $k = 50 N/m$ のばねで壁につながれている。物体は、ばねの方向（ $x$ 軸方向）にだけ運動し、速度 $x ˙$ に比例する抵抗力 $- b x ˙$ （ $b = 6.0 kg/s$ ）を受ける。ばねが自然長のときの物体の位置を $x = 0$ とすると、運動方程式は
$m x ¨ + b x ˙ + k x = 0$
である。与えられた数値は正確な値として扱う。
この物体は減衰振動をする。その角振動数 $ω_{d}$ を $rad/s$ 単位で求めよ。
$k$ $m$ $x$

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

強制振動の定常解（大学物理振動・波動）
遅延グリーン関数と $i ε$ 処方（大学院物理物理数学（群論・グリーン関数・特殊関数））