遅延グリーン関数と $i ε$ 処方

振動子 $x ¨ + γ x ˙ + ω_{0}^{2} x = f (t)$ や波動方程式のグリーン関数をフーリエ変換し、極の位置と積分路の閉じ方（因果律）から遅延グリーン関数を求め、外力に対する応答を計算できる

前提

留数定理による複素積分（大学数学複素関数）
フーリエ変換（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）
減衰振動（大学物理振動・波動）

この技能までの道筋（89 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
積と商の微分（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
分数関数の積分（部分分数分解）（数学III 積分法）
ローラン展開（大学数学複素関数）
孤立特異点の分類（大学数学複素関数）
留数の計算（大学数学複素関数）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）
複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
複素数の相等（数学II 複素数と方程式）
正則関数とコーシー・リーマンの方程式（大学数学複素関数）
オイラーの公式（大学数学微分積分）
極形式と積・商（数学C 複素数平面）
複素数の指数関数・対数関数と分枝（大学数学複素関数）
複素線積分とコーシーの積分定理（大学数学複素関数）
留数定理による複素積分（大学数学複素関数）
置換積分（数学III 積分法）
三角関数の積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
フーリエ級数（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
広義積分（大学数学微分積分）
フーリエ変換（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）
速さと平均の速さ（中学理科運動とエネルギー）
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
力のつり合いと作用・反作用（中学理科物理分野の用語と知識）
慣性の法則と物体の運動（中学理科物理分野の用語と知識）
等速円運動の速度と加速度（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
等速円運動の速さ・角速度・周期（高校物理円運動・単振動・万有引力）
三角関数のグラフの拡大と平行移動（数学II 三角関数）
単振動の変位・速度・加速度（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
単振動の変位・速度・加速度の式（高校物理円運動・単振動・万有引力）
変数分離形（大学数学微分方程式）
三角関数の合成（数学II 三角関数）
定数係数 2 階線形（斉次）（大学数学微分方程式）
減衰振動（大学物理振動・波動）

説明

外力 $f (t)$ を受ける減衰振動子 $x ¨ + γ x ˙ + ω_{0}^{2} x = f (t)$ の応答は、瞬間的な一撃 $δ (t)$ への応答であるグリーン関数 $G (t)$ を求めておけば $x (t) = \int_{- \infty}^{\infty} G (t - t^{'}) f (t^{'}) d t^{'}$ と重ね合わせで書けます。 $G$ はフーリエ変換で簡単な分数式になりますが、逆変換の積分路の閉じ方と極の位置を「力が加わる前には応答しない（因果律）」に合わせて選ぶことで、遅延グリーン関数が一つに決まります。減衰がない場合には極が実軸上に来るので、極を少しだけ下にずらす「 $i ε$ 処方」で同じ因果律を課します。この考え方は波動方程式や場の理論の伝播関数でもそのまま使われます。

なぜそうしてよいのか

フーリエ変換の流儀を $x (t) = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d ω}{2 π} x ~ (ω) e^{- iω t}$ とすると、 $\frac{d}{d t}$ は $- iω$ のかけ算に変わり、 $δ (t)$ の変換は $1$ です。したがって $G ¨ + γ G ˙ + ω_{0}^{2} G = δ (t)$ は $(- ω^{2} - iγ ω + ω_{0}^{2}) G ~ (ω) = 1$ 、すなわち
$G ~ (ω) = \frac{- 1}{ω ^{2} + iγ ω - ω _{0}^{2}} = \frac{- 1}{( ω - ω _{+} ) ( ω - ω _{-} )}, ω_{\pm} = \pm ω_{1} - \frac{iγ}{2}, ω_{1} = ω_{0}^{2} - \frac{γ ^{2}}{4}$
となります（ここでは $ω_{0} > γ /2 > 0$ の減衰振動の場合。この式の $γ$ は $x ˙$ の係数そのものなので、減衰の速さは $γ /2$ です）。 $γ > 0$ なら二つの極はどちらも下半平面にあります。

逆変換 $G (t) = \int \frac{d ω}{2 π} G ~ (ω) e^{- iω t}$ を留数定理で計算するには、実軸に大きな半円をつないで閉じます。 $ω = R e^{i θ}$ のとき $∣ e^{- iω t} ∣ = e^{tR s i n θ}$ なので、 $t < 0$ では上半平面（ $sin θ > 0$ ）で、 $t > 0$ では下半平面で被積分関数が小さくなり、しかも $∣ G ~ ∣ \sim 1/ R^{2}$ なので半円の寄与は $R \to \infty$ で消えます。 $t < 0$ では上半平面に極がないので $G (t) = 0$ 、 $t > 0$ では下半平面の二つの極を時計回り（ $- 2 π i$ 倍）に拾います。こうして「極が下半平面にある」ことと「力より前に応答しない」ことが一対一に対応します。

減衰がない $γ = 0$ では極 $\pm ω_{0}$ が実軸上に乗り、積分が定義されません。そこで $γ \to 0$ の極限が因果的な解になるように、極を $ω = \pm ω_{0} - i ε$ （ $ε \to + 0$ ）へ下にずらします。これは分母を $ω_{0}^{2} - (ω + i ε)^{2}$ に置き換えることと同じで、 $i ε$ 処方と呼ばれます。極を上にずらすと $t < 0$ だけで値をもつ先進グリーン関数になり、これは因果律に合いません。

手順

方程式の両辺をフーリエ変換し（ $\frac{d}{d t} \to - iω$ 、 $δ (t) \to 1$ ）、 $G ~ (ω)$ を分数式で求める。
分母を因数分解して極 $ω_{\pm}$ を求める。減衰がなく極が実軸上にあるときは $ω \to ω + i ε$ として極を下半平面へずらす（ $i ε$ 処方）。
$t < 0$ では積分路を上半平面で閉じる。極がないので $G (t) = 0$ （因果律）。
$t > 0$ では下半平面で閉じ、時計回りなので $G (t) = \frac{1}{2 π} (- 2 π i) \sum Res [G ~ (ω) e^{- iω t}]$ を計算する。減衰振動では $G (t) = θ (t) e^{- γ t /2} \frac{sin ω _{1} t}{ω _{1}}$ となる。
外力への応答は $x (t) = \int_{- \infty}^{t} G (t - t^{'}) f (t^{'}) d t^{'}$ で求める（積分の上端が $t$ になるのが因果律の表れ）。

例題

振動子 $x ¨ + 2 x ˙ + 5 x = f (t)$ を考える。遅延グリーン関数 $G (t)$ を $G ¨ + 2 G ˙ + 5 G = δ (t)$ を満たし $t < 0$ で $G (t) = 0$ となる解とし、フーリエ変換は $G (t) = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d ω}{2 π} G ~ (ω) e^{- iω t}$ の流儀とする。 $G ~ (ω)$ の逆変換を留数定理で計算して、 $G (\frac{π}{4})$ の値を求めよ。

例題の解答

手順 1: 変換すると $(- ω^{2} - 2 iω + 5) G ~ = 1$ より
$G ~ (ω) = \frac{- 1}{ω ^{2} + 2 iω - 5} .$

手順 2: $ω^{2} + 2 iω - 5 = 0$ を解くと $ω = - i \pm - 1 + 5 = \pm 2 - i$ 。極 $ω_{\pm} = \pm 2 - i$ はどちらも下半平面にある。

手順 3: $t < 0$ では上半平面で閉じ、極がないので $G (t) = 0$ 。

手順 4: $t > 0$ では下半平面で時計回りに閉じる。 $G ~ e^{- iω t} = \frac{- e ^{- iω t}}{( ω - ω _{+} ) ( ω - ω _{-} )}$ の留数は、 $ω_{+} - ω_{-} = 4$ を使って
$Res_{ω_{+}} = \frac{- e ^{- i ω_{+} t}}{4}, Res_{ω_{-}} = \frac{e ^{- i ω_{-} t}}{4} .$
よって
$G (t) = \frac{- 2 π i}{2 π} \cdot \frac{- e ^{- i ω_{+} t} + e ^{- i ω_{-} t}}{4} = \frac{i}{4} e^{- t} (e^{- 2 i t} - e^{2 i t}) = \frac{i}{4} e^{- t} (- 2 i sin 2 t) = \frac{1}{2} e^{- t} sin 2 t (t > 0) .$
（ $ω_{1} = 5 - 1 = 2$ 、 $γ /2 = 1$ として一般形 $e^{- γ t /2} sin (ω_{1} t) / ω_{1}$ と一致する。）
$t = π /4$ を代入すると $sin \frac{π}{2} = 1$ より
$G (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} e^{- π /4} .$

答え: $\frac{1}{2} e^{- π /4}$

よくある誤り

$t > 0$ で積分路を上半平面で閉じてしまう誤り。 $ω = R e^{i θ}$ で $∣ e^{- iω t} ∣ = e^{tR s i n θ}$ なので、 $t > 0$ では上半平面で発散する。正しくは $t > 0$ は下半平面、 $t < 0$ は上半平面で閉じる（フーリエ変換を $e^{+ iω t}$ の流儀で定義した場合は向きが逆になるので、自分の流儀で毎回確かめる）。
下半平面を時計回りに回るのに $+ 2 π i \sum Res$ としてしまう誤り。これだと $G (t) = - e^{- γ t /2} sin (ω_{1} t) / ω_{1}$ と符号が逆になる。正しくは $- 2 π i \sum Res$ で、 $G (t) = θ (t) e^{- γ t /2} sin (ω_{1} t) / ω_{1}$ （ $t = + 0$ で $G ˙ = 1$ 、つまり一撃で正の速度を得る）。
$x ˙$ の係数 $γ$ をそのまま減衰率と思い、極を $\pm ω_{1} - iγ$ 、 $ω_{1} = ω_{0}^{2} - γ^{2}$ としてしまう誤り。 $x ¨ + γ x ˙ + ω_{0}^{2} x$ の形では極は $\pm ω_{0}^{2} - γ^{2} /4 - iγ /2$ である（ $m x ¨ + b x ˙ + k x$ で $γ = b /2 m$ と置く流儀とは $γ$ の意味が 2 倍違う）。
減衰なし（ $γ = 0$ ）で極を上にずらす、つまり分母を $ω_{0}^{2} - (ω - i ε)^{2}$ にしてしまう誤り。これは $t < 0$ でだけ値をもつ先進グリーン関数 $- θ (- t) sin (ω_{0} t) / ω_{0}$ を与える。遅延グリーン関数は $ω \to ω + i ε$ （極を $\pm ω_{0} - i ε$ へ）として $θ (t) sin (ω_{0} t) / ω_{0}$ となる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
時間の単位を適当にとり、減衰振動子の方程式
$x ¨ + γ x ˙ + ω_{0}^{2} x = f (t), γ = 6, ω_{0} = 5$
を考える。フーリエ変換を $x (t) = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d ω}{2 π} x ~ (ω) e^{- iω t}$ で定義すると、グリーン関数（ $f (t) = δ (t)$ に対する解）は
$G (t) = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d ω}{2 π} \frac{e ^{- iω t}}{ω _{0}^{2} - ω ^{2} - iγ ω}$
と書ける。この積分を留数定理で計算して得られる遅延グリーン関数（ $t < 0$ で $G (t) = 0$ となるもの）について、 $t = \frac{π}{8}$ での値 $G (\frac{π}{8})$ を求めよ。

遅延グリーン関数と iε 処方

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

遅延グリーン関数と $i ε$ 処方