物理数学（群論・グリーン関数・特殊関数）

軌道角運動量 $L=2$ の 5 重に縮退した準位（$d$ 軌道）が、点群 $D_3$ の対称性をもつ結晶場に置かれる。回転群 $SO(3)$ の既約表現 $D^{(2)}$ を、$D_3$ の部分群への制限として $D_3$ の既約表現に分解したい。回転角 $\phi$ の回転に対する $D^{(L)}$ の指標は
$${\chi }^{(L)}(\phi )=\frac{\sin \left((2L+1)\phi /2\right)}{\sin (\phi /2)}(\phi \ne 0),{\chi }^{(L)}(0)=2L+1$$
である。$D_3$（位数 $6$）の類は $E$（恒等, $1$ 個）、$2C_3$（$\phi =\frac{2\pi }{3}$ の回転, $2$ 個）、$3C_2$（$\phi =\pi$ の回転, $3$ 個）で、既約表現の指標表は次のとおりである。

$D^{(2)}$ に含まれる $A_1$, $A_2$, $E$ の重複度を $m_{A_1}$, $m_{A_2}$, $m_E$ とするとき、組 $(m_{A_1},m_{A_2},m_E)$ をこの順に求めよ。

三角錐形の分子 $\mathrm{X}{\mathrm{Y}}_3$（$\mathrm{N}{\mathrm{H}}_3$ と同じ形で、X 原子が頂点、3 個の Y 原子が底面の正三角形の頂点にある）は点群 $C_{3v}$ の対称性をもつ。$C_{3v}$（位数 $6$）の類は $E$（$1$ 個）、$2C_3$（3 回軸のまわりの $\pm \frac{2\pi }{3}$ 回転, $2$ 個）、$3{\sigma }_v$（3 回軸を含む鏡映面, $3$ 個）で、指標表は次のとおりである。

ここで $z$ は 3 回軸の方向、$R_x,R_y,R_z$ は回転を表す。操作で動かない原子 1 個あたりの、その原子の変位 $(x,y,z)$ の 3 次元表現の指標は、角 $\theta$ の回転では $1+2\cos \theta$、鏡映では $1$ である。

12 次元の全運動（各原子の 3 方向の変位）の表現から並進と回転を除いた基準振動の表現を $m_{A_1}{A}_1\oplus m_{A_2}{A}_2\oplus m_{E}E$ と既約分解するとき、組 $(m_{A_1},m_{A_2},m_E)$ をこの順に求めよ。

$\hslash =1$ とする。角運動量 $j=1$ の状態 $|1,1⟩$（$J_z$ の固有値 $m=1$）を、$y$ 軸のまわりに角 $\beta =\frac{\pi }{3}$ だけ回転させた状態 $|\psi ⟩=e^{-i\beta J_y}|1,1⟩$ を考える。ここで $J_y=\frac{1}{2i}(J_{+}-J_{-})$, $J_{\pm }|j,m⟩=\sqrt{(j\mp m)(j\pm m+1)}|j,m\pm 1⟩$ である。状態 $|\psi ⟩$ で $J_z$ を測定したとき、測定値 $0$ が得られる確率を既約分数で求めよ。

単位球面上の関数 $f(\theta ,\phi )={\cos }^2\theta$（$0\le \theta \le \pi$, $0\le \phi <2\pi$）を、正規直交な球面調和関数 $Y_l^m(\theta ,\phi )$ で
$$f(\theta ,\phi )=\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^l{a}_{lm}{Y}_l^m(\theta ,\phi )$$
と展開する。ここで正規直交性は ${\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi }\overline{Y_l^m}{Y}_{l^{\prime }}^{m^{\prime }}\sin \theta d\theta d\phi ={\delta }_{l{l}^{\prime }}{\delta }_{m{m}^{\prime }}$ であり、
$$Y_0^0=\frac{1}{\sqrt{4\pi }},Y_2^0=\sqrt{\frac{5}{16\pi }}\left(3{\cos }^2\theta -1\right)$$
である。係数 $a_{20}$ を求めよ。

$k>0$ を定数とし、空間の点を極座標 $(r,\theta ,\phi )$ で表す（$z=r\cos \theta$）。平面波の部分波展開
$$e^{ikz}=\sum _{l=0}^{\infty }{i}^l(2l+1)j_l(kr)P_l(\cos \theta )$$
を用いて（$j_l$ は球ベッセル関数、$P_l$ はルジャンドル多項式）、関数 $\sin (kz)$ を
$$\sin (kz)=\sum _{l=0}^{\infty }{b}_l{j}_l(kr)P_l(\cos \theta )$$
と展開する。係数 $b_3$ を求めよ。

区間 $0\le x\le 1$ での境界値問題
$$-\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=f(x),y(0)=y(1)=0$$
を考える。このグリーン関数 $G(x,x^{\prime })$（$-{\partial }_x^{2}G(x,x^{\prime })=\delta (x-x^{\prime })$, $G(0,x^{\prime })=G(1,x^{\prime })=0$ をみたすもの）は閉じた形で
$$G(x,x^{\prime })=\{\begin{array}{ll}x(1-x^{\prime })& (0\le x\le x^{\prime })\\ x^{\prime }(1-x)& (x^{\prime }\le x\le 1)\end{array}$$
と表される。一方、固有値問題 $-{\varphi }^{\prime \prime }=\lambda \varphi$, $\varphi (0)=\varphi (1)=0$ の正規直交な固有関数を使って $G$ を固有関数展開で表すこともできる。この 2 つの表し方を $x=x^{\prime }=\frac{1}{3}$ で比べることにより、無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\sin }^2(n\pi /3)}{n^2}$$
の値を求めよ。

$k>0$ を定数とする。1 次元のヘルムホルツ方程式
$$\left(\frac{d^2}{d{x}^2}+k^2\right)G(x)=-\delta (x)(-\infty <x<\infty )$$
の解のうち、$|x|\to \infty$ で外向きに進む波（時間因子を $e^{-i\omega t}$ としたとき、$x>0$ では $e^{ikx}$、$x<0$ では $e^{-ikx}$ に比例する解）だけからなるグリーン関数 $G(x)$ を考える。$x=\frac{\pi }{2k}$ での値 $G\left(\frac{\pi }{2k}\right)$ を $k$ を用いて表せ。

$D>0$, $a>0$ を定数とする。半無限領域 $x>0$ での拡散方程式
$$\frac{\partial u}{\partial t}=D\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}(x>0,t>0)$$
を、吸収壁の境界条件 $u(0,t)=0$ と初期条件 $u(x,0)=\delta (x-a)$（$x=a$ に総量 $1$ の粒子を置く）のもとで考える。全空間の熱核
$$G(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}}{e}^{-x^2/4Dt}$$
は既知としてよい。時刻 $t=\frac{a^2}{D}$ における、粒子を置いた位置 $x=a$ での濃度 $u\left(a,\frac{a^2}{D}\right)$ を $a$ を用いて表せ。

時間の単位を適当にとり、減衰振動子の方程式
$$\ddot{x}+\gamma \dot{x}+{\omega }_0^{2}x=f(t),\gamma =6,{\omega }_0=5$$
を考える。フーリエ変換を $x(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{d\omega }{2\pi }\tilde{x}(\omega )e^{-i\omega t}$ で定義すると、グリーン関数（$f(t)=\delta (t)$ に対する解）は
$$G(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{d\omega }{2\pi }\frac{e^{-i\omega t}}{{\omega }_0^2-{\omega }^2-i\gamma \omega }$$
と書ける。この積分を留数定理で計算して得られる遅延グリーン関数（$t<0$ で $G(t)=0$ となるもの）について、$t=\frac{\pi }{8}$ での値 $G\left(\frac{\pi }{8}\right)$ を求めよ。

区間 $0\le x\le 1$ 上の実数値関数 $\varphi (x)$（2 回微分可能で $\varphi (0)=\varphi (1)=0$ をみたすもの）に対して、汎関数
$$F[\varphi ]={\int }_0^1\left[\frac{1}{2}{\left(\frac{d\varphi }{dx}\right)}^2-x\varphi (x)\right]dx$$
を考える。汎関数微分 $\frac{\delta F}{\delta \varphi (x)}$ が $0<x<1$ で $0$ になる停留関数 ${\varphi }_0$ に対する停留値 $F[{\varphi }_0]$ を求めよ。

コンドン・ショートレーの位相規約に従う正規直交な球面調和関数 $Y_l^m(\theta ,\phi )$ について、3 つの積の積分（ゴーント係数）は
$$\int Y_{l_1}^{m_1}{Y}_{l_2}^{m_2}{Y}_{l_3}^{m_3}d\Omega =\sqrt{\frac{(2l_1+1)(2l_2+1)(2l_3+1)}{4\pi }}\left(\begin{array}{ccc}{l}_1& l_2& l_3\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{l}_1& l_2& l_3\\ m_1& m_2& m_3\end{array}\right)$$
で与えられる（$d\Omega =\sin \theta d\theta d\phi$）。また 3j 記号とクレブシュ・ゴルダン係数は
$$\left(\begin{array}{ccc}{j}_1& j_2& j_3\\ m_1& m_2& m_3\end{array}\right)=\frac{(-1{)}^{j_1-j_2-m_3}}{\sqrt{2j_3+1}}⟨j_1{m}_1{j}_2{m}_2|j_3,-m_3⟩$$
の関係にある。これらを用いて、積分
$$\int Y_1^0{Y}_1^0{Y}_2^{0}d\Omega$$
の値を求めよ。

自由イオンの軌道角運動量 $L=6$ の多重項（$2L+1=13$ 重に縮退）を考える。このイオンを、正八面体の回転対称性をもつ結晶場の中に置く。対称群は八面体回転群 $O$（位数 $24$）とし、スピンとスピン軌道相互作用は無視する。

$O$ の指標表は次のとおりである（類は $E$, $8C_3$, $3C_2(=C_4^2)$, $6C_4$, $6C_2^{\prime }$ の順）。

$$\begin{array}{cccccc}& E& 8C_3& 3C_2& 6C_4& 6C_2^{\prime }\\ A_1& 1& 1& 1& 1& 1\\ A_2& 1& 1& 1& -1& -1\\ E& 2& -1& 2& 0& 0\\ T_1& 3& 0& -1& 1& -1\\ T_2& 3& 0& -1& -1& 1\end{array}$$

回転角 $\phi$ の回転に対する、角運動量 $L$ の $2L+1$ 次元表現 $D^{(L)}$ の指標は
$${\chi }^{(L)}(\phi )=\frac{\sin \left((2L+1)\phi /2\right)}{\sin (\phi /2)}(\phi \ne 0),{\chi }^{(L)}(0)=2L+1$$
で与えられる。$D^{(6)}$ を $O$ に制限した表現を既約分解したとき、$A_1,A_2,E,T_1,T_2$ が現れる回数をそれぞれ $n_{A_1},n_{A_2},n_E,n_{T_1},n_{T_2}$ とする。組 $(n_{A_1},n_{A_2},n_E,n_{T_1},n_{T_2})$ をこの順に求めよ。

単位球面上の関数
$$f(\theta ,\phi )={\sin }^4\theta \cos 2\phi$$
を、正規直交な球面調和関数 $Y_l^m(\theta ,\phi )$ で
$$f(\theta ,\phi )=\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^l{a}_{lm}{Y}_l^m(\theta ,\phi )$$
と展開する。ここで $Y_l^m$ は
$${\int }_0^{2\pi }d\phi {\int }_0^{\pi }\sin \theta d\theta Y_l^{m\ast }{Y}_{l^{\prime }}^{m^{\prime }}={\delta }_{l{l}^{\prime }}{\delta }_{m{m}^{\prime }}$$
を満たし、とくに
$$Y_4^2(\theta ,\phi )=\frac{3}{8}\sqrt{\frac{5}{2\pi }}{\sin }^2\theta (7{\cos }^2\theta -1)e^{2i\phi }$$
である。展開係数 $a_{42}$ を求めよ。答えは根号と $\pi$ を含む正確な形で答えよ。

区間 $0\le x\le 1$ 上で、微分作用素 $L=-\frac{d^2}{d{x}^2}+4$ に対する境界値問題
$$-\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+4y=f(x),y(0)=0,\frac{dy}{dx}(1)=0$$
を考える。まず、$0<x^{\prime }<1$ に対して
$$\left(-\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+4\right)G(x,x^{\prime })=\delta (x-x^{\prime }),G(0,x^{\prime })=0,\frac{\partial G}{\partial x}(1,x^{\prime })=0$$
を満たすグリーン関数 $G(x,x^{\prime })$ を求める。次に、それを用いて $f(x)=1$（$0\le x\le 1$ で一様な源）のときの解 $y(x)={\int }_0^{1}G(x,x^{\prime })f(x^{\prime })d{x}^{\prime }$ を考える。このときの $y(1)$ の値を求めよ。答えは $e$（自然対数の底）を用いた正確な式で表せ。

軌道角運動量量子数 $l=5$ の $(2l+1)=11$ 重に縮退した 1 電子軌道（スピンとスピン軌道相互作用は無視する）が、正八面体の回転対称性をもつ結晶場（点群 $O$、位数 $24$）の中に置かれた。このとき、$11$ 次元の表現 $D^{(5)}$ は点群 $O$ の既約表現の直和に分解される。点群 $O$ の指標表は次のとおりとする（$C_2$ は 4 回軸まわりの $\pi$ 回転、$C_2^{\prime }$ は 2 回軸まわりの $\pi$ 回転）。

$$\begin{array}{cccccc}O& E& 8C_3& 3C_2& 6C_4& 6C_2^{\prime }\\ A_1& 1& 1& 1& 1& 1\\ A_2& 1& 1& 1& -1& -1\\ E& 2& -1& 2& 0& 0\\ T_1& 3& 0& -1& 1& -1\\ T_2& 3& 0& -1& -1& 1\end{array}$$

$D^{(5)}$ に含まれる既約表現 $A_1,A_2,E,T_1,T_2$ の重複度 $n_{A_1},n_{A_2},n_E,n_{T_1},n_{T_2}$ を、この順に組 $(n_{A_1},n_{A_2},n_E,n_{T_1},n_{T_2})$ で求めよ。

角運動量演算子を $\mathbf{J}$ とし、$\hslash =1$ とする。オイラー角 $(\alpha ,\beta ,\gamma )$ で表した回転 $R$ に対するウィグナーの D 関数を
$$D_{m{m}^{\prime }}^j(\alpha ,\beta ,\gamma )=⟨jm|e^{-i\alpha J_z}{e}^{-i\beta J_y}{e}^{-i\gamma J_z}|j{m}^{\prime }⟩$$
で定義する。角運動量の固有状態の位相は Condon–Shortley の流儀に従うものとする。範囲は $0\le \alpha <2\pi$, $0\le \beta \le \pi$, $0\le \gamma <2\pi$ とし、$SO(3)$ 上の積分を
$$\int dRf(R)=\frac{1}{8{\pi }^2}{\int }_0^{2\pi }d\alpha {\int }_0^{\pi }\sin \beta d\beta {\int }_0^{2\pi }d\gamma f(\alpha ,\beta ,\gamma )$$
と規格化する（$\int dR1=1$）。このとき積分
$$I=\int dR{D}_{1,0}^1(R)D_{0,1}^1(R)[D_{1,1}^2(R){]}^{\ast }$$
の値を、既約分数で求めよ。