物理数学（群論・グリーン関数・特殊関数）の問題

時間の単位を適当にとり、減衰振動子の方程式
$$\ddot{x}+\gamma \dot{x}+{\omega }_0^{2}x=f(t),\gamma =6,{\omega }_0=5$$
を考える。フーリエ変換を $x(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{d\omega }{2\pi }\tilde{x}(\omega )e^{-i\omega t}$ で定義すると、グリーン関数（$f(t)=\delta (t)$ に対する解）は
$$G(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{d\omega }{2\pi }\frac{e^{-i\omega t}}{{\omega }_0^2-{\omega }^2-i\gamma \omega }$$
と書ける。この積分を留数定理で計算して得られる遅延グリーン関数（$t<0$ で $G(t)=0$ となるもの）について、$t=\frac{\pi }{8}$ での値 $G\left(\frac{\pi }{8}\right)$ を求めよ。

単位球面上の関数 $f(\theta ,\phi )={\cos }^2\theta$（$0\le \theta \le \pi$, $0\le \phi <2\pi$）を、正規直交な球面調和関数 $Y_l^m(\theta ,\phi )$ で
$$f(\theta ,\phi )=\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^l{a}_{lm}{Y}_l^m(\theta ,\phi )$$
と展開する。ここで正規直交性は ${\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi }\overline{Y_l^m}{Y}_{l^{\prime }}^{m^{\prime }}\sin \theta d\theta d\phi ={\delta }_{l{l}^{\prime }}{\delta }_{m{m}^{\prime }}$ であり、
$$Y_0^0=\frac{1}{\sqrt{4\pi }},Y_2^0=\sqrt{\frac{5}{16\pi }}\left(3{\cos }^2\theta -1\right)$$
である。係数 $a_{20}$ を求めよ。

$k>0$ を定数とする。1 次元のヘルムホルツ方程式
$$\left(\frac{d^2}{d{x}^2}+k^2\right)G(x)=-\delta (x)(-\infty <x<\infty )$$
の解のうち、$|x|\to \infty$ で外向きに進む波（時間因子を $e^{-i\omega t}$ としたとき、$x>0$ では $e^{ikx}$、$x<0$ では $e^{-ikx}$ に比例する解）だけからなるグリーン関数 $G(x)$ を考える。$x=\frac{\pi }{2k}$ での値 $G\left(\frac{\pi }{2k}\right)$ を $k$ を用いて表せ。

区間 $0\le x\le 1$ での境界値問題
$$-\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=f(x),y(0)=y(1)=0$$
を考える。このグリーン関数 $G(x,x^{\prime })$（$-{\partial }_x^{2}G(x,x^{\prime })=\delta (x-x^{\prime })$, $G(0,x^{\prime })=G(1,x^{\prime })=0$ をみたすもの）は閉じた形で
$$G(x,x^{\prime })=\{\begin{array}{ll}x(1-x^{\prime })& (0\le x\le x^{\prime })\\ x^{\prime }(1-x)& (x^{\prime }\le x\le 1)\end{array}$$
と表される。一方、固有値問題 $-{\varphi }^{\prime \prime }=\lambda \varphi$, $\varphi (0)=\varphi (1)=0$ の正規直交な固有関数を使って $G$ を固有関数展開で表すこともできる。この 2 つの表し方を $x=x^{\prime }=\frac{1}{3}$ で比べることにより、無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\sin }^2(n\pi /3)}{n^2}$$
の値を求めよ。

区間 $0\le x\le 1$ 上で、微分作用素 $L=-\frac{d^2}{d{x}^2}+4$ に対する境界値問題
$$-\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+4y=f(x),y(0)=0,\frac{dy}{dx}(1)=0$$
を考える。まず、$0<x^{\prime }<1$ に対して
$$\left(-\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+4\right)G(x,x^{\prime })=\delta (x-x^{\prime }),G(0,x^{\prime })=0,\frac{\partial G}{\partial x}(1,x^{\prime })=0$$
を満たすグリーン関数 $G(x,x^{\prime })$ を求める。次に、それを用いて $f(x)=1$（$0\le x\le 1$ で一様な源）のときの解 $y(x)={\int }_0^{1}G(x,x^{\prime })f(x^{\prime })d{x}^{\prime }$ を考える。このときの $y(1)$ の値を求めよ。答えは $e$（自然対数の底）を用いた正確な式で表せ。