汎関数微分と変分原理

汎関数 $F [ϕ] = \int L (ϕ, \nabla ϕ) d^{d} x$ の汎関数微分 $\frac{δ F}{δ ϕ ( x )} = \frac{\partial L}{\partial ϕ} - \nabla \cdot \frac{\partial L}{\partial \nabla ϕ}$ や $\frac{δ ϕ ( x )}{δ ϕ ( y )} = δ (x - y)$ を計算し、停留条件から場の方程式や停留値を求められる

前提

オイラー・ラグランジュ方程式（大学院数学変分法・最適制御）
超関数と超関数の意味での微分（大学院数学フーリエ解析）

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算数中学高校大学大学院

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定数係数 2 階線形（非斉次）（大学数学微分方程式）
オイラー・ラグランジュ方程式（大学院数学変分法・最適制御）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
広義積分（大学数学微分積分）
ルベーグ積分の計算（大学院数学測度論・実解析）
超関数と超関数の意味での微分（大学院数学フーリエ解析）

説明

関数 $ϕ (x)$ を入れると数を返す「汎関数」 $F [ϕ]$ について、 $ϕ$ を各点 $x$ で少しだけ動かしたときの $F$ の変化率である汎関数微分 $\frac{δ F}{δ ϕ ( x )}$ を計算できるようにします。 $d$ 次元の場の作用やエネルギー $F [ϕ] = \int L (ϕ, \nabla ϕ) d^{d} x$ に対して停留条件 $\frac{δ F}{δ ϕ ( x )} = 0$ を立てると場の方程式が得られ、その解を代入すれば停留値（基底状態のエネルギーや源があるときの作用の値など）が求まります。1 変数のオイラー・ラグランジュ方程式を多次元・一般の汎関数へ広げたもので、場の理論や統計力学の平均場理論で毎回使う道具です。

なぜそうしてよいのか

普通の多変数関数 $f (ϕ_{1}, \dots, ϕ_{N})$ では $df = \sum_{i} \frac{\partial f}{\partial ϕ _{i}} d ϕ_{i}$ です。添字 $i$ を連続な位置 $x$ に、和を積分に置き換えたものが汎関数微分で、
$F [ϕ + ε η] - F [ϕ] = ε \int \frac{δ F}{δ ϕ ( x )} η (x) d^{d} x + O (ε^{2})$
が（境界で $0$ になる）すべての滑らかな $η$ について成り立つとき、その被積分関数の係数を $\frac{δ F}{δ ϕ ( x )}$ と定めます。例えば $F [ϕ] = ϕ (y) = \int δ (x - y) ϕ (x) d^{d} x$ では変化が $ε η (y) = ε \int δ (x - y) η (x) d^{d} x$ なので $\frac{δ ϕ ( y )}{δ ϕ ( x )} = δ (x - y)$ となり、これは $\frac{\partial ϕ _{i}}{\partial ϕ _{j}} = δ_{ij}$ の連続版です。同様に $\frac{δ}{δ ϕ ( x )} \int J (y) ϕ (y) d^{d} y = J (x)$ です。

$F = \int L (ϕ, \nabla ϕ) d^{d} x$ では、テイラー展開により $ε$ の 1 次の変化は $ε \int [\frac{\partial L}{\partial ϕ} η + \sum_{i = 1}^{d} \frac{\partial L}{\partial ( \partial _{i} ϕ )} \partial_{i} η] d^{d} x$ です。第 2 項は各座標 $x_{i}$ について 1 変数の部分積分をすると、 $η$ が境界で $0$ なので境界項が消え、 $- \int \partial_{i} (\frac{\partial L}{\partial ( \partial _{i} ϕ )}) η d^{d} x$ になります。こうして
$\frac{δ F}{δ ϕ ( x )} = \frac{\partial L}{\partial ϕ} - \nabla \cdot \frac{\partial L}{\partial \nabla ϕ}, \nabla \cdot \frac{\partial L}{\partial \nabla ϕ} = i \sum \partial_{i} \frac{\partial L}{\partial ( \partial _{i} ϕ )}$
が得られます。 $d = 1$ ならこれはオイラー・ラグランジュ方程式の左辺そのものです。

停留点では任意の $η$ について 1 次の変化が $0$ なので、 $\frac{δ F}{δ ϕ ( x )} = 0$ がすべての $x$ で成り立ちます（ $η$ を $x$ の近くだけで値をもつものに選べばわかります）。 $L$ が $ϕ$ について 2 次で源 $J$ に 1 次で結合する場合は、停留条件を使って 2 次の部分を部分積分で源の項に書き直せるので、停留値が源と解の積分だけで表せます。源がデルタ関数なら、その積分は解の 1 点の値になります。

手順

汎関数を $F [ϕ] = \int L (ϕ, \nabla ϕ, x) d^{d} x$ の形に書き、 $ϕ$ と $\nabla ϕ$ を独立な変数とみて $\frac{\partial L}{\partial ϕ}$ と $\frac{\partial L}{\partial ( \partial _{i} ϕ )}$ を計算する。
$\frac{δ F}{δ ϕ ( x )} = \frac{\partial L}{\partial ϕ} - \sum_{i} \partial_{i} \frac{\partial L}{\partial ( \partial _{i} ϕ )}$ を組み立てる（点の値や源の項は $\frac{δ ϕ ( y )}{δ ϕ ( x )} = δ (x - y)$ で処理する）。
停留条件 $\frac{δ F}{δ ϕ ( x )} = 0$ から場の方程式を立て、境界条件（無限遠で $0$ など）のもとで解く。源がデルタ関数なら、その点での導関数の跳びも超関数の意味での微分で確かめる。
停留値が必要なら、場の方程式を使って 2 次の項を部分積分で書き直し（境界項が消えることを確かめる）、解を代入して $F$ の値を計算する。

例題

実数値関数 $ϕ (x)$ （ $x \in R$ 、 $∣ x ∣ \to \infty$ で $ϕ, ϕ^{'} \to 0$ ）に対する汎関数
$F [ϕ] = \int_{- \infty}^{\infty} [\frac{1}{2} (\frac{d ϕ}{d x})^{2} + \frac{1}{2} ϕ^{2} - δ (x) ϕ (x)] d x$
を考える。 $\frac{δ F}{δ ϕ ( x )} = 0$ を満たす $ϕ$ に対する $F$ の値（停留値）を求めよ。

例題の解答

手順 1: $L = \frac{1}{2} ϕ^{'2} + \frac{1}{2} ϕ^{2} - δ (x) ϕ$ とすると $\frac{\partial L}{\partial ϕ} = ϕ - δ (x)$ 、 $\frac{\partial L}{\partial ϕ ^{'}} = ϕ^{'}$ 。

手順 2: $\frac{δ F}{δ ϕ ( x )} = ϕ - δ (x) - ϕ^{''}$ 。（源の項は $\frac{δ}{δ ϕ ( x )} \int δ (y) ϕ (y) d y = δ (x)$ 。）

手順 3: 停留条件は $- ϕ^{''} + ϕ = δ (x)$ 。 $x \neq = 0$ では $ϕ^{''} = ϕ$ で、無限遠で $0$ になる解は $ϕ = A e^{- ∣ x ∣}$ （ $ϕ$ は $x = 0$ で連続）。両辺を $x = 0$ を含む小区間で積分すると $- [ϕ^{'} (+ 0) - ϕ^{'} (- 0)] = 1$ 、すなわち $- (- A - A) = 2 A = 1$ より $A = \frac{1}{2}$ 。よって $ϕ (x) = \frac{1}{2} e^{- ∣ x ∣}$ 。

手順 4: 部分積分で $\int ϕ^{'2} d x = [ϕ ϕ^{'}]_{- \infty}^{\infty} - \int ϕ ϕ^{''} d x = - \int ϕ ϕ^{''} d x$ （境界項は $0$ ）。場の方程式から $\int (ϕ^{'2} + ϕ^{2}) d x = \int ϕ (- ϕ^{''} + ϕ) d x = \int ϕ δ (x) d x = ϕ (0)$ 。したがって
$F = \frac{1}{2} ϕ (0) - ϕ (0) = - \frac{1}{2} ϕ (0) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = - \frac{1}{4} .$
（確認: $\int (ϕ^{'2} + ϕ^{2}) d x = 2 \int_{0}^{\infty} (\frac{1}{4} e^{- 2 x} + \frac{1}{4} e^{- 2 x}) d x = \frac{1}{2} = ϕ (0)$ 。）

答え: $- \frac{1}{4}$

よくある誤り

$\nabla \cdot \frac{\partial L}{\partial \nabla ϕ}$ の項の符号を $+$ にしてしまう誤り。例えば $L = \frac{1}{2} (\nabla ϕ)^{2} + \frac{1}{2} m^{2} ϕ^{2}$ で $\frac{δ F}{δ ϕ} = m^{2} ϕ + \nabla^{2} ϕ$ とするのは誤りで、部分積分で符号が反転するので正しくは $\frac{δ F}{δ ϕ} = - \nabla^{2} ϕ + m^{2} ϕ$ 。
$\frac{δ ϕ ( x )}{δ ϕ ( y )} = 1$ としてしまう誤り。汎関数微分は積分の中の係数として定義されるので、正しくは $\frac{δ ϕ ( x )}{δ ϕ ( y )} = δ (x - y)$ 。例えば $F = \int ϕ (x)^{3} d x$ なら $\frac{δ F}{δ ϕ ( y )} = \int 3 ϕ (x)^{2} δ (x - y) d x = 3 ϕ (y)^{2}$ 。
停留値を求めるとき、場の方程式を代入せずに 2 次の項と源の項を別々に足し間違える誤り。例題で $F = \frac{1}{2} ϕ (0) - ϕ (0)$ の第 1 項を落として $F = - ϕ (0) = - \frac{1}{2}$ としたり、 $\int ϕ^{'2} d x$ を $- \int ϕ ϕ^{''} d x$ に直すときに $ϕ^{''}$ に含まれる $- δ (x)$ の部分（ $ϕ^{'}$ の跳び）を無視したりしない。正しくは $\int (ϕ^{'2} + ϕ^{2}) d x = \int ϕ J d x$ を使い $F = - \frac{1}{2} \int J ϕ d x = - \frac{1}{4}$ 。
境界項を確かめずに部分積分で落としてしまう誤り。 $δ F = ε \int \frac{δ F}{δ ϕ} η d x + ε [\frac{\partial L}{\partial ϕ ^{'}} η]_{境界}$ であり、境界項が消えるのは $η$ が境界で $0$ （固定端）か、場が無限遠で十分速く $0$ になるときだけ。自由端なら別に $\frac{\partial L}{\partial ϕ ^{'}} = 0$ という境界条件が加わる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
区間 $0 \leq x \leq 1$ 上の実数値関数 $ϕ (x)$ （2 回微分可能で $ϕ (0) = ϕ (1) = 0$ をみたすもの）に対して、汎関数
$F [ϕ] = \int_{0}^{1} [\frac{1}{2} (\frac{d ϕ}{d x})^{2} - x ϕ (x)] d x$
を考える。汎関数微分 $\frac{δ F}{δ ϕ ( x )}$ が $0 < x < 1$ で $0$ になる停留関数 $ϕ_{0}$ に対する停留値 $F [ϕ_{0}]$ を求めよ。