超関数と超関数の意味での微分

局所可積分関数やデルタ $δ$ を、試験関数に作用する超関数として扱える。 $⟨ T^{'}, φ ⟩ = - ⟨ T, φ^{'} ⟩$ で導関数を計算し、 $H^{'} = δ$ や $⟨ δ^{(k)}, φ ⟩ = (- 1)^{k} φ^{(k)} (0)$ を使って作用の値を求められる

前提

ルベーグ積分の計算（大学院数学測度論・実解析）

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算数中学高校大学大学院

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定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
広義積分（大学数学微分積分）
ルベーグ積分の計算（大学院数学測度論・実解析）

説明

ヘヴィサイド関数 $H$ や $∣ x ∣$ のように、普通の意味では微分できない点をもつ関数や、点 $0$ に集中した「質量」を表すデルタ $δ$ を、滑らかな試験関数に値を返す写像（超関数）として扱い、何回でも微分できるようにする技能です。 $⟨ T^{'}, φ ⟩ = - ⟨ T, φ^{'} ⟩$ という定義で微分を計算し、 $H^{'} = δ$ や $⟨ δ^{(k)}, φ ⟩ = (- 1)^{k} φ^{(k)} (0)$ を使って、超関数を試験関数に作用させた値を求められるようになります。偏微分方程式の弱解・基本解や、物理での点電荷・衝撃力の記述などで使います。

なぜそうしてよいのか

試験関数とは、 $R$ 上で何回でも微分でき、ある有界区間の外では恒等的に $0$ になる関数 $φ$ のことで、その全体を $C_{c}^{\infty} (R)$ と書きます。局所可積分関数 $f$ （どの有界区間上でもルベーグ積分 $\int ∣ f ∣$ が有限な関数）は、 $⟨ T_{f}, φ ⟩ = \int_{R} f (x) φ (x) d x$ によって「試験関数に数を返す線形な写像」とみなせます。この写像を関数 $f$ と同一視して単に $f$ と書きます。一方 $⟨ δ, φ ⟩ = φ (0)$ で定まる写像 $δ$ も同じ種類の対象ですが、これはどんな局所可積分関数の積分でも表せません。このような（適切な連続性をもつ）線形写像をまとめて超関数と呼びます。

微分の定義は部分積分から来ます。 $f$ が $C^{1}$ 級なら、 $φ$ は有界区間の外で $0$ なので境界項が消え、 $\int f^{'} φ d x = [f φ]_{- \infty}^{\infty} - \int f φ^{'} d x = - \int f φ^{'} d x$ です。右辺は $f$ が微分できなくても意味をもつので、これを定義に採用して一般の超関数 $T$ に対し $⟨ T^{'}, φ ⟩ = - ⟨ T, φ^{'} ⟩$ とします。微分の負担を滑らかな $φ$ に押しつけるので、どんな超関数も何回でも微分でき、 $⟨ T^{(k)}, φ ⟩ = (- 1)^{k} ⟨ T, φ^{(k)} ⟩$ となります。

例えば $H (x)$ （ $x > 0$ で $1$ 、 $x < 0$ で $0$ ）なら $⟨ H^{'}, φ ⟩ = - \int_{0}^{\infty} φ^{'} (x) d x = - (0 - φ (0)) = φ (0) = ⟨ δ, φ ⟩$ なので $H^{'} = δ$ です。 $H$ は $x \neq = 0$ ではいたるところ導関数 $0$ をもちますが、超関数としての導関数は、点 $0$ での高さ $1$ の跳びを $δ$ として記録します。一般に、区分的に $C^{1}$ 級で点 $a$ で跳び $f (a + 0) - f (a - 0) = c$ をもつ関数の超関数微分は「各区間での普通の導関数 $+ c δ_{a}$ 」になります（ $⟨ δ_{a}, φ ⟩ = φ (a)$ ）。また $δ$ の導関数は定義から $⟨ δ^{(k)}, φ ⟩ = (- 1)^{k} ⟨ δ, φ^{(k)} ⟩ = (- 1)^{k} φ^{(k)} (0)$ です。

手順

与えられた対象を超関数として書く: 局所可積分関数 $f$ なら $⟨ f, φ ⟩ = \int f φ d x$ 、デルタなら $⟨ δ, φ ⟩ = φ (0)$
定義 $⟨ T^{'}, φ ⟩ = - ⟨ T, φ^{'} ⟩$ を書き、関数の場合は普通の導関数が存在する区間ごとに積分を分けて部分積分する（試験関数は遠くで $0$ なので無限遠の境界項は消える）
分けた点に残る境界項をまとめ、跳びの大きさ $c$ に応じて $c δ_{a}$ の項として読み取る（例: $H^{'} = δ$ ）
高階の導関数は手順 2・3 を繰り返すか、 $⟨ δ^{(k)}, φ ⟩ = (- 1)^{k} φ^{(k)} (0)$ を使って求める
求めた超関数を指定された試験関数に作用させ、 $φ^{(k)} (0)$ などの値を代入して数値を出す

例題

$T$ を局所可積分関数 $∣ x ∣$ が定める $R$ 上の超関数とし、 $φ \in C_{c}^{\infty} (R)$ は区間 $(- 1, 1)$ 上で $φ (x) = e^{3 x}$ を満たすとする。超関数の意味での 3 階導関数 $T^{'''}$ について、 $⟨ T^{'''}, φ ⟩$ の値を求めよ。

例題の解答

手順 1: $⟨ T, ψ ⟩ = \int_{- \infty}^{\infty} ∣ x ∣ ψ (x) d x$ （ $ψ \in C_{c}^{\infty} (R)$ ）である。

手順 2（1 階）: $⟨ T^{'}, ψ ⟩ = - \int_{- \infty}^{\infty} ∣ x ∣ ψ^{'} (x) d x = - \int_{0}^{\infty} x ψ^{'} (x) d x + \int_{- \infty}^{0} x ψ^{'} (x) d x$ 。部分積分すると、 $x ψ (x)$ は $x = 0$ で $0$ 、遠くで $0$ なので境界項は消え、
$⟨ T^{'}, ψ ⟩ = \int_{0}^{\infty} ψ d x - \int_{- \infty}^{0} ψ d x = \int_{- \infty}^{\infty} sgn (x) ψ (x) d x .$
よって $T^{'} = sgn$ （ $x > 0$ で $1$ 、 $x < 0$ で $- 1$ ）。 $∣ x ∣$ は連続なので跳びはなく、 $δ$ の項は出ない。

手順 2・3（2 階）: $⟨ T^{''}, ψ ⟩ = - \int_{0}^{\infty} ψ^{'} d x + \int_{- \infty}^{0} ψ^{'} d x = ψ (0) + ψ (0) = 2 ψ (0)$ 。 $sgn$ は $0$ で $- 1$ から $1$ へ高さ $2$ だけ跳ぶので、 $T^{''} = 2 δ$ 。

手順 4（3 階）: $T^{'''} = 2 δ^{'}$ であり、 $⟨ δ^{'}, ψ ⟩ = (- 1)^{1} ψ^{'} (0) = - ψ^{'} (0)$ なので $⟨ T^{'''}, ψ ⟩ = - 2 ψ^{'} (0)$ 。

手順 5: $(- 1, 1)$ 上で $φ (x) = e^{3 x}$ だから $φ^{'} (0) = 3 e^{0} = 3$ 。したがって
$⟨ T^{'''}, φ ⟩ = - 2 \cdot 3 = - 6.$

答え: $- 6$

よくある誤り

$δ$ の導関数の符号を落とし、 $⟨ δ^{'}, φ ⟩ = φ^{'} (0)$ としてしまう誤り。正しくは定義 $⟨ T^{'}, φ ⟩ = - ⟨ T, φ^{'} ⟩$ から $⟨ δ^{'}, φ ⟩ = - φ^{'} (0)$ 、一般に $⟨ δ^{(k)}, φ ⟩ = (- 1)^{k} φ^{(k)} (0)$
ほとんどいたるところの普通の導関数を超関数微分と取り違え、 $H^{'} = 0$ や $(sgn)^{'} = 0$ としてしまう誤り。跳びは境界項として残るので、正しくは $H^{'} = δ$ 、 $(sgn)^{'} = 2 δ$
跳びの大きさを $1$ と決めつけ、 $(sgn)^{'} = δ$ や $(2 H (x) + x)^{'} = 1 + δ$ としてしまう誤り。跳び $c = f (a + 0) - f (a - 0)$ の分だけ $c δ_{a}$ が出るので、正しくは $(sgn)^{'} = 2 δ$ 、 $(2 H (x) + x)^{'} = 1 + 2 δ$
連続だが角のある関数の 1 階微分にも $δ$ が出ると考え、 $∣ x ∣^{'} = sgn + 2 δ$ などとしてしまう誤り。 $∣ x ∣$ は連続で跳びがないので、正しくは $∣ x ∣^{'} = sgn$ で、 $δ$ は 2 階で初めて現れる（ $∣ x ∣^{''} = 2 δ$ ）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$D (R) = C_{c}^{\infty} (R)$ を試験関数の空間とし、ヘヴィサイド関数を $H (x) = {10 (x > 0) (x \leq 0)$ で定める。局所可積分関数
$u (x) = ∣ x ∣ + 3 H (x) (x \in R)$
を超関数 $⟨ u, φ ⟩ = \int_{- \infty}^{\infty} u (x) φ (x) d x$ とみなし、その超関数の意味での 2 階導関数を $u^{''}$ とする。試験関数 $φ \in D (R)$ が $φ (0) = 2$ , $φ^{'} (0) = 5$ を満たすとき、 $⟨ u^{''}, φ ⟩$ の値を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

区分的に滑らかな関数の超関数微分（ジャンプ公式）（大学院数学フーリエ解析）
主値 $p.v. \frac{1}{x}$ と $lo g ∣ x ∣$ の超関数微分（大学院数学フーリエ解析）
ラプラシアンの基本解と放射関数の超関数ラプラシアン（大学院数学フーリエ解析）
汎関数微分と変分原理（大学院物理物理数学（群論・グリーン関数・特殊関数））