フーリエ解析の問題

$\mathbb{R}$ 上の局所可積分関数 $\log |x|$ を緩増加超関数とみなし、その超関数の意味での $2$ 階導関数を $T=\frac{d^2}{d{x}^2}\log |x|$ とする。急減少関数 $\phi (x)=e^{-x^2}$ に対し、$⟨T,\phi ⟩$ の値を求めよ。

$\mathbb{R}$ 上の局所可積分関数 $\log |x|$ を緩増加超関数とみなし、その超関数の意味での（$1$ 階の）導関数を $S=\frac{d}{dx}\log |x|$ とする。急減少関数
$$\phi (x)=(1+3x)e^{-x^2}$$
に対して、$⟨S,\phi ⟩$ の値を求めよ。ただし $\log$ は自然対数とし、${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$ を用いてよい。

$\mathbb{R}$ 上の関数 $u$ を $$u(x)=\{\begin{array}{ll}1-x^2& (|x|\le 1)\\ 0& (|x|>1)\end{array}$$ で定め、$u$ を $\mathbb{R}$ 上の超関数とみなす。$T=u^{\prime \prime }$ を $u$ の超関数の意味での $2$ 階導関数とし、$g(x)=x^4$ とおく。$T$ はコンパクトな台をもつ超関数であるから、畳み込み $$(T\ast g)(x)=⟨T_y,g(x-y)⟩(x\in \mathbb{R})$$ が定義される。$(T\ast g)(x)$ を $x$ の式で求めよ。

可積分関数 $f$ に対して、2 通りのフーリエ変換を
$$\hat{f}(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }dx,\mathcal{F}f(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }dx(\xi \in \mathbb{R})$$
で定める。関数 $f(x)=e^{-|x|}$ $(x\in \mathbb{R})$ について、第 1 の規約では $\hat{f}(\xi )=\frac{2}{1+{\xi }^2}$ となることが知られている。このとき、第 2 の規約によるフーリエ変換 $\mathcal{F}f(\xi )$ を $\xi$ の式で求めよ。

$\mathbb{R}$ 上の関数 $f,g$ を $f(x)=|x|$, $g(x)=e^{-2|x|}$ で定め、その畳み込み
$$u(x)=(f\ast g)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }|x-y|e^{-2|y|}dy(x\in \mathbb{R})$$
を考える。$f,g$ を $\mathbb{R}$ 上の超関数とみなし、超関数の意味での微分を用いて、実数 $x$ に対する $u(x)$ を $x$ の式で表せ。