フーリエ解析の問題

手順 1: $(\log |x|{)}^{\prime }=p.v.\frac{1}{x}$ を確かめる。

超関数の微分の定義から、試験関数（急減少関数）$\phi$ に対して
$$⟨S,\phi ⟩=-⟨\log |x|,{\phi }^{\prime }⟩=-{\int }_{-\infty }^{\infty }\log |x|{\phi }^{\prime }(x)dx.$$
$\log |x|$ は $x=0$ の近くで可積分なので、この積分は $\epsilon \to +0$ のときの ${\int }_{|x|>\epsilon }$ の極限に等しい。$x>\epsilon$ の部分を部分積分すると（$\phi$ は急減少なので $x\to \infty$ での境界項は $0$）
$${\int }_{\epsilon }^{\infty }\log x{\phi }^{\prime }(x)dx=-\log \epsilon \phi (\epsilon )-{\int }_{\epsilon }^{\infty }\frac{\phi (x)}{x}dx,$$
$x<-\epsilon$ の部分も同様に
$${\int }_{-\infty }^{-\epsilon }\log |x|{\phi }^{\prime }(x)dx=\log \epsilon \phi (-\epsilon )-{\int }_{-\infty }^{-\epsilon }\frac{\phi (x)}{x}dx.$$
よって
$$-{\int }_{|x|>\epsilon }\log |x|{\phi }^{\prime }(x)dx=\log \epsilon (\phi (\epsilon )-\phi (-\epsilon ))+{\int }_{|x|>\epsilon }\frac{\phi (x)}{x}dx.$$
平均値の定理より $|\phi (\epsilon )-\phi (-\epsilon )|\le 2\epsilon \sup |{\phi }^{\prime }|$ であり、$\epsilon \log \epsilon \to 0$ なので第 1 項は $0$ に収束する。したがって
$$⟨S,\phi ⟩=\underset{\epsilon \to +0}{\lim }{\int }_{|x|>\epsilon }\frac{\phi (x)}{x}dx=⟨p.v.\frac{1}{x},\phi ⟩.$$

手順 2: $\phi (x)=(1+3x)e^{-x^2}$ に作用させる。

$${\int }_{|x|>\epsilon }\frac{(1+3x)e^{-x^2}}{x}dx={\int }_{|x|>\epsilon }\frac{e^{-x^2}}{x}dx+3{\int }_{|x|>\epsilon }{e}^{-x^2}dx.$$
第 1 項の被積分関数 $\frac{e^{-x^2}}{x}$ は奇関数で、積分範囲 $|x|>\epsilon$ は原点に関して対称なので、各 $\epsilon >0$ で値は $0$ である（$x=0$ の近くでは単独では可積分でないが、主値をとることで打ち消し合う）。第 2 項は $\epsilon \to +0$ で $3{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=3\sqrt{\pi }$ に収束する。

よって
$$⟨S,\phi ⟩=0+3\sqrt{\pi }=3\sqrt{\pi }.$$

$\log |x|$ の超関数微分は主値 $p.v.\frac{1}{x}$ である。実際、$⟨S,\phi ⟩=-{\int }_{-\infty }^{\infty }\log |x|{\phi }^{\prime }(x)dx=-{\lim }_{\epsilon \to 0}{\int }_{|x|>\epsilon }\log |x|{\phi }^{\prime }(x)dx$。部分積分すると境界項は $\log \epsilon (\phi (\epsilon )-\phi (-\epsilon ))=O(\epsilon \log \epsilon )\to 0$ となり、$⟨S,\phi ⟩={\lim }_{\epsilon \to 0}{\int }_{|x|>\epsilon }\frac{\phi (x)}{x}dx$。

$\phi (x)=e^{-x^2}+3x{e}^{-x^2}$。偶関数部分 $e^{-x^2}/x$ は奇関数なので $|x|>\epsilon$ での積分は 0。奇関数部分は $\frac{3x{e}^{-x^2}}{x}=3e^{-x^2}$ で、積分は $3{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=3\sqrt{\pi }$。

よって $⟨S,\phi ⟩=3\sqrt{\pi }$。

検算: 直接 $-\int \log |x|{\phi }^{\prime }dx$ を考えると、${\phi }^{\prime }=(3-2x-6x^2)e^{-x^2}$ のうち $\log |x|$ は偶関数なので偶部分 $(3-6x^2)e^{-x^2}$ のみが効く。$-\int \log |x|(3-6x^2)e^{-x^2}dx$ は $\frac{d}{dx}\left(3x{e}^{-x^2}\right)=(3-6x^2)e^{-x^2}$ に注意すると、部分積分で $\int \frac{3x{e}^{-x^2}}{x}dx=3\sqrt{\pi }$ となり一致する。