フーリエ解析の問題

$r=|x|$ とおき、$u=f(r)$, $f(r)=\frac{\cos 2r}{r}$ と書く。

手順 1: 原点以外での（普通の）ラプラシアン。

放射関数 $f(r)$ について、$r>0$ では
$$\Delta f=f^{\prime \prime }+\frac{2}{r}{f}^{\prime }=\frac{1}{r}(rf{)}^{\prime \prime }$$
が成り立つ。$rf=\cos 2r$ なので $(rf{)}^{\prime \prime }=-4\cos 2r$。よって $x\ne 0$ で
$$\Delta u=\frac{-4\cos 2r}{r}=-4u.$$

手順 2: グリーンの公式で原点の寄与を調べる。

試験関数 $\phi$ に対して
$$⟨\Delta u,\phi ⟩={\int }_{{\mathbb{R}}^3}u\Delta \phi dx=\underset{\epsilon \to +0}{\lim }{\int }_{|x|>\epsilon }u\Delta \phi dx$$
（$u$ は局所可積分なので最後の等号が成り立つ）。領域 $|x|>\epsilon$ でグリーンの公式を使うと、境界 $|x|=\epsilon$ での外向き法線は原点を向く（$\partial /\partial n=-\partial /\partial r$）ので
$${\int }_{|x|>\epsilon }u\Delta \phi dx={\int }_{|x|>\epsilon }(\Delta u)\phi dx+{\int }_{|x|=\epsilon }\left(-u\frac{\partial \phi }{\partial r}+\phi f^{\prime }(\epsilon )\right)dS.$$
- 第 1 項は手順 1 より $-4{\int }_{|x|>\epsilon }u\phi dx\to -4⟨u,\phi ⟩$。
- 境界積分の前半: $|u|\le \frac{1}{\epsilon }$, 球面の面積は $4\pi {\epsilon }^2$ なので、大きさは $\frac{1}{\epsilon }\cdot 4\pi {\epsilon }^2\sup |\nabla \phi |=O(\epsilon )\to 0$。
- 境界積分の後半:
$$f^{\prime }(r)=-\frac{2\sin 2r}{r}-\frac{\cos 2r}{r^2}$$
より ${\epsilon }^2{f}^{\prime }(\epsilon )=-2\epsilon \sin 2\epsilon -\cos 2\epsilon \to -1$。また $\phi$ の連続性より球面上の $\phi$ の平均は $\phi (0)$ に近づくので
$${\int }_{|x|=\epsilon }\phi f^{\prime }(\epsilon )dS=4\pi {\epsilon }^2{f}^{\prime }(\epsilon )\cdot (\text{球面上の }\phi \text{ の平均})\to -4\pi \phi (0).$$

したがって
$$⟨\Delta u,\phi ⟩=-4⟨u,\phi ⟩-4\pi \phi (0)=⟨-4u-4\pi \delta ,\phi ⟩,$$
すなわち $\Delta u=-4u-4\pi \delta$。

（確認: 原点の近くで $u=\frac{1}{r}+\frac{\cos 2r-1}{r}$ であり、$\Delta \frac{1}{|x|}=-4\pi \delta$ からデルタの係数 $-4\pi$ が来ている。）

よって $(a,c)=(-4,-4\pi )$。

$r=|x|$ とおく。$r>0$ で球対称関数 $u=g(r)/r$ に対し $\Delta u=\frac{g^{\prime \prime }(r)}{r}$。$g=\cos 2r$ のとき $g^{\prime \prime }=-4\cos 2r$ なので、$r>0$ では $\Delta u=-4u$。

原点での寄与: $u=\frac{1}{|x|}+w$, $w=\frac{\cos 2r-1}{r}$ と分解する。$w=O(r)$ で、$w$ は原点で連続（値 0）、$\nabla w$ は有界（$|\nabla w|=|w^{\prime }(r)|$ が原点近傍で有界）なので、$\Delta w$ は超関数としても $r>0$ での通常の関数 $\Delta w=\frac{(\cos 2r-1{)}^{\prime \prime }}{r}=\frac{-4\cos 2r}{r}$ に等しく、原点に delta の項は出ない（球 $B_{\epsilon }$ からの境界項 ${\int }_{|x|=\epsilon }{\partial }_{r}wdS=O({\epsilon }^2)\to 0$）。一方 $\Delta \frac{1}{|x|}=-4\pi \delta$。

したがって超関数として $\Delta u=-4\pi \delta +\frac{-4\cos 2r}{r}=-4u(r>0\text{ の部分})$ ... より正確には $\Delta u=-4\pi \delta -\frac{4\cos 2r}{r}$ である。$-4u=-\frac{4\cos 2r}{r}$ なので、$\Delta u=-4u-4\pi \delta$。

検算: 試験関数 $\phi$ に対し $⟨\Delta u+4u,\phi ⟩={\lim }_{\epsilon \to 0}\left[{\int }_{|x|=\epsilon }(u{\partial }_n\phi -\phi {\partial }_{n}u)dS\right]$（$n$ は原点から外向き、領域 $|x|>\epsilon$ に対する法線は逆向き）。$u\approx 1/\epsilon$, ${\partial }_{r}u\approx -1/{\epsilon }^2$ より $-\phi (0)\cdot (-1/{\epsilon }^2)\cdot 4\pi {\epsilon }^2\cdot (-1)=-4\pi \phi (0)$ で、$c=-4\pi$ と一致。

よって $(a,c)=(-4,-4\pi )$。