フーリエ解析の問題

ジャンプ公式

点 $0$ 以外で滑らかで、$0$ で跳びのある関数 $f$ について、超関数の意味での導関数は
$$f^{\prime }=\{f^{\prime }\}+(f(0+0)-f(0-0))\delta$$
である。ここで $\{f^{\prime }\}$ は $x\ne 0$ での通常の導関数を表す関数である。

1 回目の微分

$x>0$ で $u=2\cos 3x+\sin 3x$、$x<0$ で $u=0$ なので、跳びは
$$u(0+0)-u(0-0)=2\cos 0+\sin 0-0=2.$$
通常の導関数は $x>0$ で $\{u^{\prime }\}=-6\sin 3x+3\cos 3x$、$x<0$ で $0$ である。よって
$$u^{\prime }=\{u^{\prime }\}+2\delta .$$

2 回目の微分

$\{u^{\prime }\}$ の $0$ での跳びは
$$\{u^{\prime }\}(0+0)-\{u^{\prime }\}(0-0)=(-6\sin 0+3\cos 0)-0=3.$$
$x>0$ での通常の導関数は $\{u^{\prime \prime }\}=-18\cos 3x-9\sin 3x$ である。$\delta$ の導関数は ${\delta }^{\prime }$ なので
$$u^{\prime \prime }=\{u^{\prime \prime }\}+3\delta +2{\delta }^{\prime }.$$

まとめる

$x>0$ で $\{u^{\prime \prime }\}+9u=(-18\cos 3x-9\sin 3x)+9(2\cos 3x+\sin 3x)=0$、$x<0$ でも $0$ である。したがって
$$u^{\prime \prime }+9u=3\delta +2{\delta }^{\prime }$$
となり、$(a,b)=(3,2)$ である。

$u$ は $x=0$ で跳びをもち、$u(0+)=2$, $u(0-)=0$。$x\ne 0$ での古典的導関数を $\{u^{\prime }\}$ とすると $u^{\prime }=\{u^{\prime }\}+2\delta$。$\{u^{\prime }\}(x)=(-6\sin 3x+3\cos 3x)H(x)$ で、$\{u^{\prime }\}(0+)=3$, $\{u^{\prime }\}(0-)=0$ なので $(\{u^{\prime }\}{)}^{\prime }=\{u^{\prime \prime }\}+3\delta$。したがって $u^{\prime \prime }=\{u^{\prime \prime }\}+3\delta +2{\delta }^{\prime }$。$x>0$ では $\{u^{\prime \prime }\}=-9u$、$x<0$ では両辺 0 なので $\{u^{\prime \prime }\}=-9u$ 。ゆえに $u^{\prime \prime }+9u=3\delta +2{\delta }^{\prime }$、$(a,b)=(3,2)$。
検算: 試験関数 $\phi$ で $⟨u^{\prime \prime }+9u,\phi ⟩={\int }_0^{\infty }(2\cos 3x+\sin 3x)({\phi }^{\prime \prime }+9\phi )dx$。部分積分すると境界項は $[g{\phi }^{\prime }-g^{\prime }\phi {]}_0^{\infty }=-(g(0){\phi }^{\prime }(0)-g^{\prime }(0)\phi (0))=-2{\phi }^{\prime }(0)+3\phi (0)$（$g=2\cos 3x+\sin 3x$, $g(0)=2$, $g^{\prime }(0)=3$、$g^{\prime \prime }+9g=0$）。これは $3\phi (0)-2{\phi }^{\prime }(0)=⟨3\delta +2{\delta }^{\prime },\phi ⟩$ と一致。