区分的に滑らかな関数の超関数微分（ジャンプ公式）

$\mathbb{R}$ 上の関数 $u$ を
$$u(x)=\{\begin{array}{ll}2\cos 3x+\sin 3x& (x>0)\\ 0& (x\le 0)\end{array}$$
で定め、$u$ を $\mathbb{R}$ 上の超関数とみなす。超関数の意味での導関数を用いると、実数 $a,b$ によって
$$u^{\prime \prime }+9u=a\delta +b{\delta }^{\prime }$$
と表される。ここで $\delta$ は原点におけるディラックのデルタ（$⟨\delta ,\phi ⟩=\phi (0)$）であり、${\delta }^{\prime }$ はその超関数の意味での導関数である。組 $(a,b)$ をこの順に求めよ。

$\mathbb{R}$ 上の関数 $u$ を $$u(x)=\{\begin{array}{ll}1-x^2& (|x|\le 1)\\ 0& (|x|>1)\end{array}$$ で定め、$u$ を $\mathbb{R}$ 上の超関数とみなす。$T=u^{\prime \prime }$ を $u$ の超関数の意味での $2$ 階導関数とし、$g(x)=x^4$ とおく。$T$ はコンパクトな台をもつ超関数であるから、畳み込み $$(T\ast g)(x)=⟨T_y,g(x-y)⟩(x\in \mathbb{R})$$ が定義される。$(T\ast g)(x)$ を $x$ の式で求めよ。

$\mathbb{R}$ 上の関数 $f,g$ を
$$f(x)=|x|e^{-|x|},g(x)={\chi }_{[0,1]}(x)=\{\begin{array}{ll}1& (0\le x\le 1)\\ 0& (\text{otherwise})\end{array}$$
で定め、その畳み込みを
$$u(x)=(f\ast g)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x-y)g(y)dy$$
とする。$u$ を $\mathbb{R}$ 上の緩増加超関数とみなし、超関数の意味での微分を用いて
$$T={\left(\frac{d^2}{d{x}^2}-1\right)}^{2}u=u^{\prime \prime \prime \prime }-2u^{\prime \prime }+u$$
とおく。急減少関数 $\phi (x)=x{e}^{-x^2}$ に対して $⟨T,\phi ⟩$ の値を求めよ。ただし超関数 $S$ の微分は $⟨S^{\prime },\phi ⟩=-⟨S,{\phi }^{\prime }⟩$ で定め、局所可積分関数 $h$ と同一視される超関数は $⟨h,\phi ⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }h(x)\phi (x)dx$ で作用するものとする。

実数直線 $\mathbb{R}$ 上の関数 $u$ を
$$u(x)=\{\begin{array}{ll}(x+2)e^{-x}& (x>0)\\ 0& (x\le 0)\end{array}$$
で定め、$u$ を $\mathbb{R}$ 上の超関数とみなす。超関数の意味での微分を用いて $w=u^{\prime \prime }+2u^{\prime }+u$ とおき、$g(x)=e^{-x^2}$ とする。畳み込み $w\ast g$ は $\mathbb{R}$ 上の $C^{\infty }$ 級関数である。その $x=1$ における値 $(w\ast g)(1)$ を求めよ。

$\mathbb{R}$ 上の関数 $f,g$ を $f(x)=|x|$, $g(x)=e^{-2|x|}$ で定め、その畳み込み
$$u(x)=(f\ast g)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }|x-y|e^{-2|y|}dy(x\in \mathbb{R})$$
を考える。$f,g$ を $\mathbb{R}$ 上の超関数とみなし、超関数の意味での微分を用いて、実数 $x$ に対する $u(x)$ を $x$ の式で表せ。

区間 $[0,1]$ の指示関数を $\chi ={\chi }_{[0,1]}$ とし、$\mathbb{R}$ 上の関数 $u$ を $3$ 重の畳み込み
$$u=\chi \ast \chi \ast \chi ,(f\ast g)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x-y)g(y)dy$$
で定める。$u$ を $\mathbb{R}$ 上の超関数とみなし、その超関数の意味での $2$ 階導関数を $T=u^{\prime \prime }$ とする。$T$ はコンパクトな台をもつので、任意の $C^{\infty }$ 級関数 $\phi$ に対して $⟨T,\phi ⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }u(x){\phi }^{\prime \prime }(x)dx$ が定まる。$\phi (x)=e^{2x}$ のとき、$⟨T,\phi ⟩$ の値を求めよ。

$\mathbb{R}$ 上の関数 $h,f$ を
$$h(x)=|x|e^{-|x|},f(x)=e^{-|x|}$$
で定める。$h$ を $\mathbb{R}$ 上の超関数とみなし、その超関数の意味での $2$ 階導関数を $T=h^{\prime \prime }$ とする。$T$ と $f$ の畳み込み $T\ast f$ は $\mathbb{R}$ 上の連続関数として表される。$x\ge 0$ における $(T\ast f)(x)$ を $x$ の式で求めよ。