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フーリエ解析の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院数学フーリエ解析

$R$ 上の関数 $f, g$ を $f (x) = ∣ x ∣$ , $g (x) = e^{- 2∣ x ∣}$ で定め、その畳み込み
$u (x) = (f * g) (x) = \int_{- \infty}^{\infty} ∣ x - y ∣ e^{- 2∣ y ∣} d y (x \in R)$
を考える。 $f, g$ を $R$ 上の超関数とみなし、超関数の意味での微分を用いて、実数 $x$ に対する $u (x)$ を $x$ の式で表せ。

この問題で使うもの

区分的に滑らかな関数の超関数微分（ジャンプ公式）（説明と入口の問題）
超関数と関数の畳み込み（説明と入口の問題）
超関数と超関数の意味での微分（説明と入口の問題）
部分積分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（71 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$f$ を $2$ 回微分すると簡単な超関数になる。 $u^{''} = (f * g)^{''} = f^{''} * g$ を使って $u^{''}$ を求め、それを積分し直す。

ヒント 2

超関数の意味で $(∣ x ∣)^{''} = 2 δ$ 、 $(\frac{1}{2} e^{- 2∣ x ∣})^{''} = 2 e^{- 2∣ x ∣} - 2 δ$ 。

ヒント 3

$u^{''} = 2 e^{- 2∣ x ∣}$ となるので $u (x) = ∣ x ∣ + \frac{1}{2} e^{- 2∣ x ∣} + a x + b$ の形。 $u$ の偶奇と $u (0) = \int ∣ y ∣ e^{- 2∣ y ∣} d y$ から $a, b$ を決める。

答えと解説

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∣ x ∣ + \frac{1}{2} e^{- 2∣ x ∣}

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解説を読む

超関数の微分. $f (x) = ∣ x ∣$ の超関数の意味での導関数は $f^{'} = sgn x$ （ $x > 0$ で $1$ 、 $x < 0$ で $- 1$ ）で、これは $x = 0$ で高さ $2$ の跳びをもつから
$f^{''} = 2 δ .$

畳み込みの微分. $g$ は指数的に減衰し、 $f$ は高々 $1$ 次の増大なので $u = f * g$ は well-defined で、 $u$ は連続、かつ超関数の意味で $(f * g)^{''} = f^{''} * g$ が成り立つ（試験関数 $φ$ に対し $⟨ u^{''}, φ ⟩ = ⟨ u, φ^{''} ⟩ = \iint f (x - y) g (y) φ^{''} (x) d x d y$ とし、 $x$ についての微分を $f (\cdot - y)$ に移すとよい）。よって
$u^{''} = 2 δ * g = 2 g = 2 e^{- 2∣ x ∣} .$

$u^{''} = 2 e^{- 2∣ x ∣}$ の解. $h (x) = \frac{1}{2} e^{- 2∣ x ∣}$ とおくと、 $x \neq = 0$ で $h^{'} (x) = - sgn (x) e^{- 2∣ x ∣}$ であり、 $x \to 0^{-}$ で $1$ 、 $x \to 0^{+}$ で $- 1$ となるので、 $h^{'}$ は $x = 0$ で跳び $- 2$ をもつ。また $x \neq = 0$ で $h^{''} (x) = 2 e^{- 2∣ x ∣}$ だから、超関数の意味で
$h^{''} = 2 e^{- 2∣ x ∣} - 2 δ .$
したがって $(∣ x ∣ + h)^{''} = 2 δ + 2 e^{- 2∣ x ∣} - 2 δ = 2 e^{- 2∣ x ∣} = u^{''}$ 。超関数の意味で $2$ 階導関数が $0$ になるのは $1$ 次式に限るので
$u (x) = ∣ x ∣ + \frac{1}{2} e^{- 2∣ x ∣} + a x + b (a, b は定数) .$

定数の決定. $f, g$ はともに偶関数なので $u (- x) = \int ∣ - x - y ∣ g (y) d y = \int ∣ x + y ∣ g (y) d y = \int ∣ x - y ∣ g (- y) d y = u (x)$ で、 $u$ は偶関数。よって $a = 0$ 。また
$u (0) = \int_{- \infty}^{\infty} ∣ y ∣ e^{- 2∣ y ∣} d y = 2 \int_{0}^{\infty} y e^{- 2 y} d y = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2},$
一方 $∣0∣ + \frac{1}{2} e^{0} + b = \frac{1}{2} + b$ だから $b = 0$ 。

検算（直接計算）. $x > 0$ のとき、 $\int_{R} g = 1$ , $\int_{R} y g (y) d y = 0$ を用いると、 $∣ x - y ∣ = (x - y) + 2 (y - x)_{+}$ より
$u (x) = \int_{R} (x - y) g (y) d y + 2 \int_{x}^{\infty} (y - x) e^{- 2 y} d y = x + 2 \cdot \frac{e ^{- 2 x}}{4} = x + \frac{1}{2} e^{- 2 x}$
となり一致する。

答え: $u (x) = ∣ x ∣ + \frac{1}{2} e^{- 2∣ x ∣}$

別解

超関数として $f^{''} = 2 δ$ なので $u^{''} = f^{''} * g = 2 δ * g = 2 g = 2 e^{- 2∣ x ∣}$ 。 $u$ は偶関数（ $f, g$ が偶）なので $u^{'} (0) = 0$ 。 $x > 0$ で $u^{'} (x) = \int_{0}^{x} 2 e^{- 2 y} d y = 1 - e^{- 2 x}$ 、積分して $u (x) = x + \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C$ 。 $u (0) = \int_{- \infty}^{\infty} ∣ y ∣ e^{- 2∣ y ∣} d y = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ より $C = 0$ 。偶関数なので $u (x) = ∣ x ∣ + \frac{1}{2} e^{- 2∣ x ∣}$ 。検算: $u^{''} = 2 e^{- 2∣ x ∣}$ （ $x \neq = 0$ で $\frac{1}{2} \cdot 4 e^{- 2∣ x ∣}$ と一致、 $x = 0$ で $u^{'}$ は連続）、 $∣ x ∣ \to \infty$ で $u \sim ∣ x ∣ \int g = ∣ x ∣$ と整合。

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