畳み込み

実数全体で定義された関数 $f(x)$, $g(x)$ を
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-x}& (x\geqq 0)\\ 0& (x<0)\end{array},g(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-2x}& (x\geqq 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
で定め、その畳み込みを
$$h(x)=(f\ast g)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x-y)g(y)dy$$
とする。可積分な関数 $u(x)$ のフーリエ変換を
$$\hat{u}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }u(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定めるとき、$\hat{h}(1)$ の値を求めよ。ただし $i$ は虚数単位とする。

実数全体で定義された可積分な関数 $u(x)$ のフーリエ変換を
$$\hat{u}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }u(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定める。関数 $f(x)$, $g(x)$ を
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-x}& (x\geqq 0)\\ 0& (x<0)\end{array},g(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-2x}& (x\geqq 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
で定め、その畳み込みを
$$h(x)=(f\ast g)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x-y)g(y)dy$$
とする。$h(x)$ のフーリエ変換の $\omega =1$ における値 $\hat{h}(1)$ を求めよ。ただし $i$ は虚数単位とし、答えは $a+bi$（$a,b$ は実数）の形で表せ。

実数全体で定義された可積分な関数 $u(x)$ のフーリエ変換を
$$\hat{u}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }u(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定める。関数 $f(x)$, $g(x)$ を
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-x}& (x\geqq 0)\\ 0& (x<0)\end{array},g(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-2x}& (x\geqq 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
で定め、その畳み込みを
$$h(x)=(f\ast g)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x-y)g(y)dy$$
とする。$h(x)$ のフーリエ変換 $\hat{h}(\omega )$ の $\omega =1$ における値 $\hat{h}(1)$ を求めよ。ただし、$i$ は虚数単位とする。

実数 $x$ と $t\ge 0$ に対して、関数 $u(x,t)$ についての熱方程式の初期値問題
$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}(x\in \mathbb{R},t>0),u(x,0)=e^{-x^2}(x\in \mathbb{R})$$
を考える。$x$ についてのフーリエ変換を $\hat{f}(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }dx$ と定める。フーリエ変換を用いて、この初期値問題の有界な解 $u(x,t)$（$t>0$）を $x,t$ の式で求めよ。

インパルス応答が
$$h(t)=e^{-2t}u(t)$$
で与えられる連続時間の線形時不変系がある。ここで $t$ は時刻（単位は s）、$u(t)$ は単位ステップ関数（$t\ge 0$ で $1$、$t<0$ で $0$）である。この系に、幅 $1\text{s}$ の矩形パルス
$$x(t)=u(t)-u(t-1)$$
を入力したとき（$t<0$ では系は静止しているとする）、時刻 $t=2$ における出力 $y(2)$ を正確な値で求めよ。

$t\ge 0$ で定義された関数 $f(t)=\sin t$, $g(t)=\cos t$ の畳み込みを
$$h(t)=(f\ast g)(t)={\int }_0^{t}f(t-u)g(u)du={\int }_0^t\sin (t-u)\cos udu$$
で定める。ラプラス変換 $\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt$ の畳み込み定理 $\mathcal{L}[f\ast g]=\mathcal{L}[f]\mathcal{L}[g]$ を用いて、$h(t)$ を $t$ の式で表せ。

連続時間信号
$$x(t)={\left(\frac{\sin (1000\pi t)}{\pi t}\right)}^2\cos (3000\pi t)$$
を考える（$t$ は時刻で単位は s、$t=0$ での値は極限値で定める）。この信号を標本化周波数 $f_s$ で等間隔に標本化し、理想低域通過フィルタで元の信号を復元する（帯域通過標本化のように、低域通過フィルタ以外の復元方法は考えない）。

この方式では、$x(t)$ のスペクトルの最高周波数を $f_{\max }$（$|f|>f_{\max }$ で $X(f)=0$ となる最小の値）とすると、$f_s>2f_{\max }$ のときにエイリアシングを起こさずに $x(t)$ を完全に復元できる。この $2f_{\max }$ をナイキストレート $f_N$ とよぶ。$f_N$ は何 Hz か。整数で求めよ。

ただし、フーリエ変換を $X(f)={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-j2\pi ft}dt$ で定め、$\frac{\sin (2\pi Wt)}{\pi t}$（$W>0$）のフーリエ変換は $|f|\le W$ で $1$、$|f|>W$ で $0$ の矩形関数であることを用いてよい。

実数全体で定義された関数 $f(x)$, $g(x)$ を
$$f(x)=e^{-|x|},g(x)=\{\begin{array}{ll}1& (|x|\leqq 1)\\ 0& (|x|>1)\end{array}$$
で定め、その畳み込みを
$$h(x)=(f\ast g)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x-y)g(y)dy$$
とする。関数 $u(x)$ のフーリエ変換を
$$\hat{u}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }u(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定めるとき、$\hat{h}(1)$ の値を求めよ。

$t$ を時刻（単位は s）とし、連続時間信号
$$x(t)={\left(\frac{\sin (2\pi \cdot 400t)}{\pi t}\right)}^2\cos (2\pi \cdot 1500t)$$
を考える（$t=0$ では連続になるように値を定める）。フーリエ変換は $X(f)={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-j2\pi ft}dt$（$f$ は周波数で単位は Hz）で定義し、$\frac{\sin (2\pi Wt)}{\pi t}$（$W>0$）のフーリエ変換は $|f|<W$ で $1$、$|f|>W$ で $0$ となる矩形関数であることを用いてよい。

この信号を一定の標本化周波数 $f_s$ で理想的に標本化し、理想低域通過フィルタで復元する（帯域通過標本化は考えない）。$X(f)\ne 0$ となる周波数 $|f|$ の上限を $B$ とするとき、ナイキストレート $2B$ は何 Hz か。整数で答えよ。

$[0,\infty )$ で連続な関数 $f$ が指数位数であるとは、定数 $M>0$, $c\ge 0$ があって、すべての $t\ge 0$ で $|f(t)|\le M{e}^{ct}$ となることをいう。このとき $s>c$ でラプラス変換 $\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }f(t)e^{-st}dt$ が定まる。また $f,g$ の畳み込みを $(f\ast g)(t)={\int }_0^{t}f(t-\tau )g(\tau )d\tau (t\ge 0)$ で定める。次の事実は用いてよい。

• （畳み込み定理）$f,g$ が $[0,\infty )$ で連続かつ指数位数ならば、$f\ast g$ も連続かつ指数位数であり、十分大きいすべての $s$ で $\mathcal{L}[f\ast g](s)=\mathcal{L}[f](s)\mathcal{L}[g](s)$
• $s>0$ で $\mathcal{L}[t](s)=\frac{1}{s^2}$、$s>1$ で $\mathcal{L}[\sinh t](s)=\frac{1}{s^2-1}$
• （一意性）$[0,\infty )$ で連続かつ指数位数の 2 つの関数のラプラス変換が、十分大きいすべての $s$ で一致すれば、2 つの関数は $[0,\infty )$ 上で一致する

$[0,\infty )$ で連続かつ指数位数の関数 $y$ が、すべての $t\ge 0$ で
$$y(t)=t+{\int }_0^t(t-\tau )y(\tau )d\tau$$
を満たすならば、$y(t)=\sinh t(t\ge 0)$ であることを証明せよ。

無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\sin }^{2}n{\sin }^2(2n)}{n^4}$$
の値を求めよ。ただし $\sin$ の引数は弧度法で表したものとする。

（方針の指定）$[-\pi ,\pi ]$ 上で区間 $[-1,1]$ の指示関数と区間 $[-2,2]$ の指示関数をそれぞれ考え、$2\pi$ 周期的に拡張する。それらの周期的畳み込みのフーリエ係数を求め、パーセバルの等式を用いて求めること。

広義積分
$$I={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{{\sin }^{2}x}{x^2(1+x^2)}dx$$
の値を、フーリエ変換とパーセバルの等式を用いて求めよ。ただし被積分関数の $x=0$ での値は極限値 $1$ で補うものとする。

$f\in L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$ のフーリエ変換を $$\hat{f}(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }dx$$ で定める。区間 $[-a,a]$ の定義関数を ${\chi }_a$（$|x|\le a$ で $1$、それ以外で $0$）とし、$h={\chi }_1\ast {\chi }_1$（畳み込み）とおく。$h$ と ${\chi }_{1/2}$ のフーリエ変換を求め、プランシュレルの等式（内積の形）を用いて、広義積分 $$I={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{{\sin }^{2}x\sin \frac{x}{2}}{x^3}dx$$ の値を求めよ。ただし被積分関数の $x=0$ での値は極限値 $\frac{1}{2}$ で補うものとする。

実数全体で定義された可積分な関数 $f(x)$ のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定める。関数
$$g(x)=\{\begin{array}{ll}1& (|x|\le 1)\\ 0& (|x|>1)\end{array},h(x)=\frac{1}{2}{e}^{-|x|}$$
を考える。$g$, $h$ のフーリエ変換、畳み込みのフーリエ変換の性質、パーセバルの等式などを利用して、定積分
$$J={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{{\sin }^2\omega }{{\omega }^2(1+{\omega }^2)}d\omega$$
の値を求めよ。ただし、被積分関数は $\omega =0$ で連続に拡張したもの（値 $1$）とする。

長さ $8$ の実数値の離散時間信号 $x[n]$（$n=0,1,\dots ,7$）の $8$ 点離散フーリエ変換（DFT）を
$$X[k]=\sum _{n=0}^{7}x[n]e^{-j\frac{2\pi kn}{8}}(k=0,1,\dots ,7)$$
と定義する（$j$ は虚数単位）。$X[k]$ のうち $k=0,1,2,3,4$ の値が
$$X[0]=8,X[1]=2-2j,X[2]=4j,X[3]=1+j,X[4]=-2$$
であることがわかっている。$x[n]$ とそれ自身との $8$ 点巡回畳み込み
$$y[n]=\sum _{m=0}^{7}x[m]x[(n-m)\mathrm{mod}8](n=0,1,\dots ,7)$$
について、$\sum _{n=0}^{7}y[n{]}^2$ の値を求めよ。

実数全体で定義された可積分な関数 $u(x)$ のフーリエ変換を
$$\hat{u}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }u(x)e^{-i\omega x}dx$$
で定める。2 つの関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& (|x|\leqq 1)\\ 0& (|x|>1)\end{array},g(x)=e^{-|x|}$$
を考え、その畳み込みを
$$h(x)=(f\ast g)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x-y)g(y)dy$$
とする。畳み込みのフーリエ変換の公式 $\hat{h}(\omega )=\hat{f}(\omega )\hat{g}(\omega )$ と、パーセバルの等式
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{u}(\omega )\overline{\hat{v}(\omega )}d\omega =2\pi {\int }_{-\infty }^{\infty }u(x)\overline{v(x)}dx$$
（$u,v$ は適当な可積分・2 乗可積分関数）を用いて、定積分
$$I={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{{\sin }^2\omega }{{\omega }^2(1+{\omega }^2)}d\omega$$
の値を求めよ。

実数全体で定義された可積分な関数 $u(x)$ のフーリエ変換を
$$\hat{u}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }u(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定める。実数全体で定義された関数 $f(x)$, $g(x)$ を
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& (|x|\leqq 1)\\ 0& (|x|>1)\end{array},g(x)=e^{-2|x|}$$
とし、$h(x)=(f\ast f)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x-y)f(y)dy$ とおく。

$h(x)$ を具体的に求め、$\hat{h}$, $\hat{g}$ を計算したうえで、パーセバルの等式（2 つの関数の内積の形）
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{u}(\omega )\overline{\hat{v}(\omega )}d\omega =2\pi {\int }_{-\infty }^{\infty }u(x)\overline{v(x)}dx$$
を用いて、定積分
$$I={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{{\sin }^2\omega }{{\omega }^2({\omega }^2+4)}d\omega$$
の値を求めよ。

実数全体で定義された可積分な関数 $f(x)$ のフーリエ変換と逆変換を
$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx,f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(\omega )e^{i\omega x}d\omega$$
で定める。

実数全体で連続な関数 $f(x)$ のフーリエ変換が
$$\hat{f}(\omega )=\frac{{\sin }^2\omega }{{\omega }^2(1+{\omega }^2)}(\omega \ne 0),\hat{f}(0)=1$$
であるとき、$f(1)$ の値を求めよ。

実数全体で定義された関数 $f(x)=e^{-|x|}$, $g(x)=e^{-2|x|}$ の畳み込みを
$$h(x)=(f\ast g)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x-y)g(y)dy$$
で定める。また、可積分な関数 $\phi (x)$ のフーリエ変換を
$$\hat{\phi }(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }\phi (x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定める。畳み込み定理とパーセバルの等式
$${\int }_{-\infty }^{\infty }|\phi (x){|}^{2}dx=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }|\hat{\phi }(\omega ){|}^{2}d\omega$$
を用いてよい。このとき、積分
$$I={\int }_{-\infty }^{\infty }h(x{)}^{2}dx$$
の値を求めよ。

$t\geqq 0$ で連続な関数 $y(t)$ が、すべての $t>0$ に対して積分方程式
$${\int }_0^t\frac{y(u)}{\sqrt{t-u}}du=t+t^2$$
を満たすとする。関数 $f(t)$ のラプラス変換を $\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt$ で定め、必要なら、実数 $a>-1$ に対する公式 $\mathcal{L}[t^a](s)=\frac{\Gamma (a+1)}{s^{a+1}}$（$s>0$）と $\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }$、$\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)$ を用いてよい。ラプラス変換を用いて、$y(t)$ を $t$ の式で求めよ（$t\geqq 0$）。

$t\geqq 0$ で連続な関数 $y(t)$ が、すべての $t\geqq 0$ に対して積分方程式
$$y(t)+2{\int }_0^t\cos (t-u)y(u)du=e^{-t}$$
を満たすとする。$t\geqq 0$ で定義された関数 $f(t)$ のラプラス変換を $\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt$ で定め、$y(t)$ のラプラス変換は十分大きい実数 $s$ に対して存在するものとする。$y(t)$ を求めよ。