フーリエ解析の問題

設定. $2\pi$ 周期の可積分関数 $f$ のフーリエ係数を
$$\hat{f}(n)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-inx}dx(n\in \mathbb{Z})$$
で定め、周期的畳み込みを
$$(f\ast g)(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(y)g(x-y)dy$$
で定める。このとき $\widehat{f\ast g}(n)=\hat{f}(n)\hat{g}(n)$ が成り立つ。また $L^2$ 関数 $h$ に対して、次のパーセバルの等式が成り立つ。
$$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }|h(x){|}^{2}dx=\sum _{n\in \mathbb{Z}}|\hat{h}(n){|}^2$$

フーリエ係数. $[-\pi ,\pi ]$ 上で $[-1,1]$ の指示関数を $g_1$、$[-2,2]$ の指示関数を $g_2$ とし、それぞれ $2\pi$ 周期的に拡張する（$2<\pi$ なので矛盾なく定まる）。$n\ne 0$ のとき
$${\hat{g}}_1(n)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-1}^1{e}^{-inx}dx=\frac{1}{2\pi }\cdot \frac{2\sin n}{n}=\frac{\sin n}{\pi n}$$
である。同様に ${\hat{g}}_2(n)=\frac{\sin 2n}{\pi n}$ である。また ${\hat{g}}_1(0)=\frac{1}{\pi }$、${\hat{g}}_2(0)=\frac{2}{\pi }$ である。

よって $h=g_1\ast g_2$ のフーリエ係数は
$$\hat{h}(n)=\frac{\sin n\sin 2n}{{\pi }^2{n}^2}(n\ne 0),\hat{h}(0)=\frac{2}{{\pi }^2}$$
となる。$\hat{h}(-n)=\hat{h}(n)$ なので
$$\sum _{n\in \mathbb{Z}}|\hat{h}(n){|}^2=\frac{4}{{\pi }^4}+\frac{2}{{\pi }^4}\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\sin }^{2}n{\sin }^{2}2n}{n^4}=\frac{4+2S}{{\pi }^4}$$
である。

畳み込みの計算. $|x|\le \pi$ とする。$y\in [-1,1]$ のとき $x-y\in [-\pi -1,\pi +1]$ であり、$\pi +1<2\pi -2$ なので、$x-y$ は $g_2$ の平行移動したコピー $[2\pi k-2,2\pi k+2]$（$k\ne 0$）には入らない。したがって
$$h(x)=\frac{1}{2\pi }\left|[-1,1]\cap [x-2,x+2]\right|$$
（$|\cdot |$ は区間の長さ）であり、具体的には
$$h(x)=\frac{1}{2\pi }\times \{\begin{array}{ll}2& (|x|\le 1)\\ 3-|x|& (1\le |x|\le 3)\\ 0& (3\le |x|\le \pi )\end{array}$$
となる。$h$ は偶関数なので
$${\int }_{-\pi }^{\pi }h(x{)}^{2}dx=\frac{1}{4{\pi }^2}\cdot 2\left({\int }_0^{1}4dt+{\int }_1^3(3-t{)}^{2}dt\right)=\frac{1}{4{\pi }^2}\cdot 2\left(4+\frac{8}{3}\right)=\frac{1}{4{\pi }^2}\cdot \frac{40}{3}=\frac{10}{3{\pi }^2}$$
であり、
$$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }h(x{)}^{2}dx=\frac{5}{3{\pi }^3}$$
を得る。

パーセバルの等式.
$$\frac{5}{3{\pi }^3}=\frac{4+2S}{{\pi }^4}⟹4+2S=\frac{5\pi }{3}⟹S=\frac{5\pi }{6}-2.$$

（検算: 各項の値はおよそ、$n=1$ で $0.585451$、$n=2$ で $0.029598$、$n=3$ で $0.000019$、$n=4$ で $0.002190$、$n=5$ で $0.000435$、$n=6$ で $0.000017$、$n=7$ で $0.000176$、$n=8$ で $0.000020$ である。よって $n=8$ までの部分和は約 $0.61791$ となる。残りの項の和は ${\sum }_{n\ge 9}\frac{1}{n^4}<{\int }_8^{\infty }\frac{dx}{x^4}=\frac{1}{1536}\approx 0.00065$ で抑えられるので、$0.6179<S<0.6186$ である。一方 $\frac{5\pi }{6}-2\approx 0.61799$ であり、この範囲に入っている。）

答え: $S=\frac{5\pi }{6}-2$

$f=1_{[-1,1]}$、$g=1_{[-2,2]}$（$[-\pi ,\pi ]$ 上、$2\pi$ 周期拡張）とし、$\hat{f}(n)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-inx}dx$ と定める。

1. フーリエ係数は $\hat{f}(n)=\frac{\sin n}{\pi n}$、$\hat{g}(n)=\frac{\sin 2n}{\pi n}$ である。$\hat{f}(0)=\frac{1}{\pi }$、$\hat{g}(0)=\frac{2}{\pi }$。

2. 畳み込みを $h(x)=\frac{1}{2\pi }\int f(y)g(x-y)dy$ とおくと $\hat{h}(n)=\hat{f}(n)\hat{g}(n)=\frac{\sin n\sin 2n}{{\pi }^2{n}^2}$ であり、$\hat{h}(0)=\frac{2}{{\pi }^2}$。

3. パーセバルの等式より $\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{h}^{2}dx=\hat{h}(0{)}^2+2{\sum }_{n\ge 1}\frac{{\sin }^{2}n{\sin }^{2}2n}{{\pi }^4{n}^4}=\frac{4}{{\pi }^4}+\frac{2S}{{\pi }^4}$。

4. $h$ を具体的に求める。$h=L/(2\pi )$、$L(x)$ は $[-1,1]$ と $[x-2,x+2]$ の共通部分の長さである。$|x|\le 1$ で $L=2$、$1\le |x|\le 3$ で $L=3-|x|$、$|x|\ge 3$ で $L=0$。$3<\pi$ かつ $\pi +1<2\pi -2$ なので周期的なはみ出しはない。

5. $\int L^{2}dx=2\left[{\int }_0^{1}4dx+{\int }_1^3(3-x{)}^{2}dx\right]=2\left[4+\frac{8}{3}\right]=\frac{40}{3}$。よって $\frac{1}{2\pi }\int h^2=\frac{1}{2\pi }\cdot \frac{1}{4{\pi }^2}\cdot \frac{40}{3}=\frac{5}{3{\pi }^3}$。

6. $\frac{5}{3{\pi }^3}=\frac{4+2S}{{\pi }^4}$ より $2S=\frac{5\pi }{3}-4$、すなわち $S=\frac{5\pi }{6}-2\approx 0.618$。

7. 検算：$n=1$ の項は約 $0.585$、$n=2$ の項は約 $0.0296$ で、以降の項を加えると $0.618$ 程度になり整合する。