ヘルダーの不等式と Lᵖ ノルム

自然数全体 $\{1,2,3,\dots \}$ 上の数え上げ測度を考える（すなわち数列空間 ${\ell }^p$ を考える）。実数列 $(a_k{)}_{k\ge 1}$ で
$$\sum _{k=1}^{\infty }|a_k{|}^3=1$$
を満たすもの全体を考える。このとき
$$S=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{a_k}{4^k}$$
の最大値を求めよ。

区間 $(0,1)$ 上のルベーグ測度を考える。実数値可測関数 $f:(0,1)\to \mathbb{R}$ で
$${\int }_0^{1}f(x{)}^{4}dx<\infty ,{\int }_0^{1}xf(x)dx=1$$
を満たすもの全体を $\mathcal{F}$ とする。
$$m=\underset{f\in \mathcal{F}}{\min }{\int }_0^{1}f(x{)}^{4}dx$$
は存在する。$m$ の値を求めよ。

正の整数全体の集合 $\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots \}$ 上の数え上げ測度を考える（この測度に関する $L^p$ ノルムは $\Vert a{\Vert }_p={\left({\sum }_{n=1}^{\infty }|a_n{|}^p\right)}^{1/p}$ である）。実数列 $a=(a_n{)}_{n\ge 1}$ で
$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n^4=1$$
を満たすもの全体を考える。このとき級数
$$S(a)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a_n}{8^n}$$
は絶対収束する。$S(a)$ の最大値を求めよ。

実数列 $x=(x_n{)}_{n\ge 1}$ で ${\sum }_{n=1}^{\infty }|x_n{|}^3<\infty$ をみたすもの全体のなす実バナッハ空間 ${\ell }^3$ に、ノルム $$\Vert x{\Vert }_3={\left(\sum _{n=1}^{\infty }|x_n{|}^3\right)}^{1/3}$$ を入れる。線形汎関数 $\phi :{\ell }^3\to \mathbb{R}$ を $$\phi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x_n}{4^n}$$ で定める。$\phi$ の作用素ノルム $$\Vert \phi \Vert =\underset{x\ne 0}{\sup }\frac{|\phi (x)|}{\Vert x{\Vert }_3}$$ を求めよ。

$n=1,2,3,\dots$ を添字とする実数列 $x=(x_n{)}_{n\ge 1}$ で ${\sum }_{n=1}^{\infty }|x_n{|}^{3/2}<\infty$ を満たすもの全体のなす実バナッハ空間を ${\ell }^{3/2}$ とし、ノルムを
$$\Vert x{\Vert }_{3/2}={\left(\sum _{n=1}^{\infty }|x_n{|}^{3/2}\right)}^{2/3}$$
で定める。線形汎関数 $\phi :{\ell }^{3/2}\to \mathbb{R}$ を
$$\phi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x_n}{2^n}$$
で定めるとき、作用素ノルム $\Vert \phi \Vert ={\sup }_{x\ne 0}\frac{|\phi (x)|}{\Vert x{\Vert }_{3/2}}$ を求めよ。

区間 $(0,1)$ 上のルベーグ測度を考える。可測関数 $f:(0,1)\to [0,\infty )$ で
$${\int }_0^{1}xf(x{)}^{3}dx=1$$
を満たすもの全体を $\mathcal{F}$ とする。
$$M=\underset{f\in \mathcal{F}}{\sup }{\int }_0^{1}f(x)dx$$
の値を求めよ。

区間 $(0,\infty )$ 上のルベーグ測度を考える。可測関数 $f:(0,\infty )\to [0,\infty )$ で $${\int }_0^{\infty }f(x{)}^{3}dx=1$$ を満たすもの全体を $\mathcal{F}$ とする。 $$M=\underset{f\in \mathcal{F}}{\sup }{\int }_0^{\infty }f(x)e^{-x}dx$$ の値を求めよ。

ルベーグ測度に関する実バナッハ空間 $L^3([0,1])$（ノルムは $\Vert f{\Vert }_3={\left({\int }_0^1|f(x){|}^{3}dx\right)}^{1/3}$）上の線形汎関数 $\phi$ を
$$\phi (f)={\int }_0^{1}xf(x)dx(f\in L^3([0,1]))$$
で定める。$\phi$ は有界であり、双対空間 $L^3([0,1]{)}^{\ast }$ の元である。その作用素ノルム
$$\Vert \phi \Vert =\sup \{|\phi (f)|:f\in L^3([0,1]),\Vert f{\Vert }_3\le 1\}$$
の値を求めよ。

区間 $(0,\infty )$ 上のルベーグ測度を考える。実数値可測関数 $f$ で ${\int }_0^{\infty }|f(x){|}^{3}dx<\infty$ かつ $${\int }_0^{\infty }f(x)e^{-x}dx=1$$ を満たすもの全体を $\mathcal{A}$ とする。$$m=\underset{f\in \mathcal{A}}{\inf }{\int }_0^{\infty }|f(x){|}^{3}dx$$ の値を求めよ。

$f\in L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$ に対し、フーリエ変換を
$$\hat{f}(\xi )={\int }_{\mathbb{R}}f(x)e^{-ix\xi }dx(\xi \in \mathbb{R})$$
で定め、これを $L^2(\mathbb{R})$ 全体へ連続に拡張したもの（プランシュレル変換）も $\hat{f}$ と書く。次の事実は用いてよい。

• （プランシュレルの定理）任意の $f\in L^2(\mathbb{R})$ に対して ${\int }_{\mathbb{R}}|\hat{f}(\xi ){|}^{2}d\xi =2\pi {\int }_{\mathbb{R}}|f(x){|}^{2}dx$ が成り立ち、$f\mapsto \hat{f}$ は $L^2(\mathbb{R})$ から $L^2(\mathbb{R})$ への全単射である。さらに、$\hat{f}\in L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$ ならば、ほとんどすべての $x\in \mathbb{R}$ で $f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}\hat{f}(\xi )e^{ix\xi }d\xi$ が成り立つ。
• ${\left\{\frac{e^{in\xi }}{\sqrt{2\pi }}\right\}}_{n\in \mathbb{Z}}$ は $L^2([-\pi ,\pi ])$ の完全正規直交系である。

いま、$f$ は $\mathbb{R}$ 上の複素数値連続関数で $f\in L^2(\mathbb{R})$ を満たし、さらにそのフーリエ変換 $\hat{f}$ は $[-\pi ,\pi ]$ の外でほとんど至るところ $0$ であるとする。このとき
$${\int }_{\mathbb{R}}|f(x){|}^{2}dx=\sum _{n\in \mathbb{Z}}|f(n){|}^2$$
が成り立つ（右辺の級数は収束する）ことを証明せよ。

区間 $(0,\infty )$ 上のルベーグ測度を考える。実数値可測関数 $f:(0,\infty )\to \mathbb{R}$ で
$${\int }_0^{\infty }f(x{)}^{2}dx=3,{\int }_0^{\infty }f(x{)}^{4}dx=12$$
を満たすもの全体を $\mathcal{F}$ とする。$f$ が $\mathcal{F}$ 全体を動くとき、
$$J(f)={\int }_0^{\infty }|f(x){|}^{3}dx$$
のとりうる値の範囲を求めよ。

区間 $(0,1)$ 上のルベーグ測度を考える。実数値可測関数 $f:(0,1)\to \mathbb{R}$ で
$${\int }_0^1|f(x)|dx=1,{\int }_0^{1}f(x{)}^{4}dx=8$$
を満たすもの全体を $\mathcal{F}$ とする。$f$ が $\mathcal{F}$ 全体を動くとき、
$$J(f)={\int }_0^{1}f(x{)}^{2}dx$$
のとりうる値の範囲を求めよ。

区間 $(0,1)$ 上のルベーグ測度を考える。可測関数 $f:(0,1)\to (0,\infty )$ で $${\int }_0^{1}f(x{)}^{3}dx<\infty ,{\int }_0^1\frac{x}{f(x)}dx<\infty$$ を満たすもの全体を $\mathcal{G}$ とする。$$m=\underset{f\in \mathcal{G}}{\inf }\left({\int }_0^{1}f(x{)}^{3}dx\right){\left({\int }_0^1\frac{x}{f(x)}dx\right)}^3$$ の値を求めよ。

区間 $(0,1)$ 上のルベーグ測度に関する複素バナッハ空間 $L^3((0,1))$ を、ノルム $\Vert f{\Vert }_3={\left({\int }_0^1|f(x){|}^{3}dx\right)}^{1/3}$ で考える。作用素 $H$ を
$$(Hf)(x)=\frac{1}{x}{\int }_0^{x}f(y)dy(f\in L^3((0,1)),0<x<1)$$
で定める。$H$ は $L^3((0,1))$ 上の有界線形作用素である。$H$ のスペクトル半径 $r(H)=\sup \{|\lambda |:\lambda \in \sigma (H)\}$ を求めよ。ここで $\sigma (H)$ は $H$ のスペクトルである。