測度論・実解析の問題

上からの評価（ヘルダーの不等式）. $f^2=|f{|}^{2/3}\cdot |f{|}^{4/3}$ と分け、指数 $p=\frac{3}{2},q=3$（$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1$）でヘルダーの不等式を使うと
$$J(f)={\int }_0^1|f{|}^{2/3}|f{|}^{4/3}dx\le {\left({\int }_0^1|f|dx\right)}^{2/3}{\left({\int }_0^1{f}^{4}dx\right)}^{1/3}=1\cdot 8^{1/3}=2.$$
特に $J(f)<\infty$ である。ヘルダーの不等式の等号は、$(|f{|}^{2/3}{)}^{3/2}=|f|$ と $(|f{|}^{4/3}{)}^3=|f{|}^4$ が a.e. で比例するとき、すなわち $|f{|}^4=c|f|$ a.e. のときに成り立つ。これは $|f|$ がその台の上で一定の値 $a$ をとることを意味する。$|f|=a{1}_E$ とすると $am(E)=1,a^{4}m(E)=8$ より $a^3=8$、$a=2$、$m(E)=\frac{1}{2}$。たとえば $f=2\cdot 1_{(0,1/2)}$ は $\mathcal{F}$ に属し $J(f)=4\cdot \frac{1}{2}=2$ なので、最大値 $2$ は達成される。

下からの評価（コーシー・シュワルツの不等式）. 測度が $1$ なので
$$1={\left({\int }_0^1|f|\cdot 1dx\right)}^2\le {\int }_0^1{f}^{2}dx\cdot {\int }_0^{1}1dx=J(f).$$
等号は $|f|$ が a.e. で定数のとき、つまり $|f|=1$ a.e. のときに限るが、そのとき ${\int }_0^1{f}^{4}dx=1\ne 8$ となり $\mathcal{F}$ に属さない。よって常に $J(f)>1$。

$(1,2]$ のすべての値をとること. $0\le b<1$ に対し、$a>1$ と $\alpha \in (0,1)$ を用いて $f=a{1}_{(0,\alpha )}+b{1}_{[\alpha ,1)}$ を考える。$\int |f|=a\alpha +b(1-\alpha )=1$ より $\alpha =\frac{1-b}{a-b}\in (0,1)$。このとき
$${\int }_0^1{f}^{4}dx=b^4+\alpha (a^4-b^4)=b^4+(1-b)(a^3+a^{2}b+a{b}^2+b^3)=:G_b(a).$$
$G_b$ は $a$ について連続かつ狭義単調増加で、$G_b(1)=b^4+(1-b^4)=1$、$a\to \infty$ で $G_b(a)\to \infty$。よって $G_b(a)=8$ となる $a=a(b)>1$ がただ一つ存在し、陰関数（単調連続関数の逆）として $b$ について連続である。このとき
$$J(f)=b^2+\alpha (a^2-b^2)=b^2+(1-b)(a+b)=:h(b).$$
$b=0$ では $a^3=8$、$a=2$ で $h(0)=2$。$b\to 1-0$ のとき、$G_b(a)=8$ より $(1-b)a^3\le 8$ なので $a\le 2(1-b{)}^{-1/3}$。よって $(1-b)a\le 2(1-b{)}^{2/3}\to 0$ となり、$h(b)\to 1$。$h$ は $[0,1)$ 上で連続なので、中間値の定理より $(1,2]$ のすべての値をとる。

以上より、求める範囲は $1<J(f)\le 2$、すなわち区間 $(1,2]$ である。

$X=|f|$ とおく。$(0,1)$ は全測度 1 なので確率空間とみなせて、$E[X]=1$、$E[X^4]=8$ であり、$m=E[X^2]=J(f)$ の範囲を求める。

【上界】$X^2=X^{2/3}\cdot X^{4/3}$ にヘルダーの不等式（指数 $3/2$ と $3$）を使う。
$E[X^2]\le (E[X]{)}^{2/3}(E[X^4]{)}^{1/3}=1\cdot 8^{1/3}=2$。
等号は、$X$ が 0 または一定値 $c$ のときに成り立つ。$|f|=2$ を測度 $1/2$ の集合上、$0$ をそれ以外でとる関数を取ると、$\int |f|=2\cdot \frac{1}{2}=1$、$\int f^4=16\cdot \frac{1}{2}=8$、$\int f^2=4\cdot \frac{1}{2}=2$ となり、上界 2 は達成される。

【下界】コーシー・シュワルツの不等式より $m=E[X^2]\ge E[X{]}^2=1$。等号は $X=1$ a.e. のときに限るが、そのとき $E[X^4]=1\ne 8$ なので、$m>1$ である。
一方、いくらでも 1 に近づけられる。大きい $a$ に対し、測度 $\epsilon =7/a^4$ の集合上で $|f|=a$、残りで $|f|=c$ とおく。$c$ は $\epsilon a+(1-\epsilon )c=1$ から定める。$\int f^4=8$ を満たすには $c^4(1-\epsilon )+7=8$ とする必要があるので、条件を厳密に合わせるには少し調整が要る。しかし $a\to \infty$ のとき $\epsilon a\to 0$、$c\to 1$、$\epsilon a^2=7/a^2\to 0$ なので $m\to 1$ となる。

【中間値】条件を満たす分布の集合は混合について凸で、$m$ はその上で線形（または連続）に変わるので、値域は区間になる。

したがって $J(f)$ のとりうる値の範囲は $1<J(f)\le 2$、すなわち $(1,2]$。