測度論・実解析の問題

方針. 条件の積分 ${\int }_0^{1}xf(x)dx$ を、$f$ の $L^4$ ノルムと $x$ の $L^{4/3}$ ノルムでヘルダーの不等式により上から押さえる。$p=4$ の共役指数は $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ から $q=\frac{4}{3}$ である。

ステップ 1（ヘルダーの不等式）. $f\in \mathcal{F}$ とする。$g(x)=x$ とおくと
$$1={\int }_0^{1}xf(x)dx\le {\int }_0^1|f(x)|xdx\le \Vert f{\Vert }_4\Vert g{\Vert }_{4/3}.$$

ステップ 2（$L^{4/3}$ ノルムの計算）.
$$\Vert g{\Vert }_{4/3}^{4/3}={\int }_0^1{x}^{4/3}dx={\left[\frac{3}{7}{x}^{7/3}\right]}_0^1=\frac{3}{7}$$
より $\Vert g{\Vert }_{4/3}={\left(\frac{3}{7}\right)}^{3/4}$。

ステップ 3（下からの評価）. ステップ 1 から $\Vert f{\Vert }_4\ge {\left(\frac{7}{3}\right)}^{3/4}$ となる。両辺を 4 乗して
$${\int }_0^{1}f(x{)}^{4}dx=\Vert f{\Vert }_4^4\ge {\left(\frac{7}{3}\right)}^3=\frac{343}{27}.$$

ステップ 4（等号成立条件）. ヘルダーの不等式で等号が成り立つのは、$|f{|}^4$ と $|g{|}^{4/3}$ がほとんどいたるところで比例し、さらに $f\ge 0$ のときである。$|f{|}^4=c^{\prime }{x}^{4/3}$ を解くと、$f(x)=c{x}^{1/3}$（$c>0$）の形になる。

• 条件 ${\int }_0^{1}x\cdot c{x}^{1/3}dx=c\cdot \frac{3}{7}=1$ から $c=\frac{7}{3}$ である。
• このとき ${\int }_0^1{f}^{4}dx={\left(\frac{7}{3}\right)}^4{\int }_0^1{x}^{4/3}dx={\left(\frac{7}{3}\right)}^4\cdot \frac{3}{7}=\frac{343}{27}$ となる。

よって $f(x)=\frac{7}{3}{x}^{1/3}\in \mathcal{F}$ で下限 $\frac{343}{27}$ が達成されるので、最小値は
$$m=\frac{343}{27}.$$

ヘルダーの不等式（指数 $4$ と $4/3$）より
$$1={\int }_0^{1}xf(x)dx\le \Vert f{\Vert }_4\Vert x{\Vert }_{4/3}.$$
ここで $\Vert x{\Vert }_{4/3}={\left({\int }_0^1{x}^{4/3}dx\right)}^{3/4}=(3/7{)}^{3/4}$ である。
よって $\Vert f{\Vert }_4\ge (7/3{)}^{3/4}$ となり、$\int f^4\ge (7/3{)}^3=343/27$ を得る。

等号は $f^4$ と $(x{)}^{4/3}$ が比例するとき、すなわち $f=c{x}^{1/3}$ のときに成り立つ。
条件 ${\int }_0^{1}xfdx=c{\int }_0^1{x}^{4/3}dx=\frac{3}{7}c=1$ より $c=7/3$ と決まる。
このとき $\int f^4=c^4\cdot \frac{3}{7}=(7/3{)}^4\cdot \frac{3}{7}=(7/3{)}^3=\frac{343}{27}$ となり、下界が達成される。

したがって $m=\frac{343}{27}$。