測度論・実解析の問題

$f\in \mathcal{G}$ を任意にとる。$f>0$ なので $$x^{3/4}={\left(f(x{)}^3\right)}^{1/4}{\left(\frac{x}{f(x)}\right)}^{3/4}(0<x<1)$$ が成り立つ。$g=(f^3{)}^{1/4}$, $h=(x/f{)}^{3/4}$ とおくと、$g\in L^4(0,1)$, $h\in L^{4/3}(0,1)$ であり、$\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$ なので指数 $p=4$, $q=\frac{4}{3}$ のヘルダーの不等式が使える：
$${\int }_0^1{x}^{3/4}dx={\int }_0^{1}ghdx\le \Vert g{\Vert }_4\Vert h{\Vert }_{4/3}={\left({\int }_0^1{f}^{3}dx\right)}^{1/4}{\left({\int }_0^1\frac{x}{f}dx\right)}^{3/4}.$$
左辺は ${\int }_0^1{x}^{3/4}dx=\frac{4}{7}$ なので、両辺を 4 乗して
$$\left({\int }_0^1{f}^{3}dx\right){\left({\int }_0^1\frac{x}{f}dx\right)}^3\ge {\left(\frac{4}{7}\right)}^4=\frac{256}{2401}.$$
よって $m\ge \frac{256}{2401}$。

次に等号の条件を調べる。ヘルダーの不等式で等号が成り立つのは（$g,h$ がともに $0$ でないとき）、$g^4$ と $h^{4/3}$ がほとんど至る所で比例するとき、すなわち $f^3=c\frac{x}{f}$（$c>0$ 定数）となるときである。これは $f^4=cx$、つまり $f(x)=k{x}^{1/4}$（$k>0$）である。

実際に $f(x)=x^{1/4}$ をとると $f>0$ で
$${\int }_0^1{f}^{3}dx={\int }_0^1{x}^{3/4}dx=\frac{4}{7},{\int }_0^1\frac{x}{f}dx={\int }_0^1{x}^{3/4}dx=\frac{4}{7}$$
はともに有限なので $f\in \mathcal{G}$ であり、
$$\left({\int }_0^1{f}^{3}dx\right){\left({\int }_0^1\frac{x}{f}dx\right)}^3=\frac{4}{7}\cdot {\left(\frac{4}{7}\right)}^3=\frac{256}{2401}.$$
したがって下限は達成され、$$m=\frac{256}{2401}.$$

$A={\int }_0^1{f}^{3}dx$, $B={\int }_0^1\frac{x}{f}dx$ とおく。被積分関数を $x^{3/4}=(f^3{)}^{1/4}{\left(\frac{x}{f}\right)}^{3/4}$ と分解し、指数 $p=4$, $q=4/3$ のヘルダーの不等式を使うと
$${\int }_0^1{x}^{3/4}dx\le {\left({\int }_0^1{f}^{3}dx\right)}^{1/4}{\left({\int }_0^1\frac{x}{f}dx\right)}^{3/4}=A^{1/4}{B}^{3/4}.$$
左辺は $\frac{1}{7/4}=\frac{4}{7}$ である。両辺を 4 乗して $A{B}^3\ge {\left(\frac{4}{7}\right)}^4=\frac{256}{2401}$。
等号は $f^3$ と $x/f$ が比例するとき、すなわち $f=c{x}^{1/4}$ ($c>0$) のとき成り立つ。この $f$ は $\mathcal{G}$ に属する。実際 $f=x^{1/4}$ とすると $A={\int }_0^1{x}^{3/4}dx=\frac{4}{7}$, $B={\int }_0^1{x}^{3/4}dx=\frac{4}{7}$ で有限、$A{B}^3={\left(\frac{4}{7}\right)}^4$。（検算: $f\to cf$ で $A\to c^{3}A$, $B^3\to c^{-3}{B}^3$ なので積は不変で、$c$ によらず同じ値。）
よって $m=\frac{256}{2401}$。