測度論・実解析の問題

$f\in \mathcal{F}$ を任意にとる。$f(x)=\left(x^{1/3}f(x)\right)\cdot x^{-1/3}$ と分け、指数 $p=3$, $q=\frac{3}{2}$（$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1$）のヘルダーの不等式を使うと
$${\int }_0^{1}f(x)dx\le {\left({\int }_0^{1}xf(x{)}^{3}dx\right)}^{1/3}{\left({\int }_0^1{\left(x^{-1/3}\right)}^{3/2}dx\right)}^{2/3}=1\cdot {\left({\int }_0^1{x}^{-1/2}dx\right)}^{2/3}.$$
ここで ${\int }_0^1{x}^{-1/2}dx={\left[2x^{1/2}\right]}_0^1=2$ なので
$${\int }_0^{1}f(x)dx\le 2^{2/3}.$$
したがって $M\le 2^{2/3}$ である。

次に等号が成り立つ $f$ を探す。ヘルダーの不等式で等号が成り立つのは、${\left(x^{1/3}f\right)}^3$ と ${\left(x^{-1/3}\right)}^{3/2}$ がほとんどいたるところ比例するとき、すなわち $xf(x{)}^3=k{x}^{-1/2}$（$k>0$ は定数）のときである。これより $f(x{)}^3=k{x}^{-3/2}$、つまり $f(x)=c{x}^{-1/2}$（$c=k^{1/3}$）。
条件から
$${\int }_0^{1}x\cdot c^3{x}^{-3/2}dx=c^3{\int }_0^1{x}^{-1/2}dx=2c^3=1$$
なので $c=2^{-1/3}$。この $f_0(x)=2^{-1/3}{x}^{-1/2}$ は $\mathcal{F}$ に属し
$${\int }_0^1{f}_0(x)dx=2^{-1/3}\cdot 2=2^{2/3}.$$
よって上限は達成され、
$$M=2^{2/3}=\sqrt[3]{4}.$$

$f=(x^{1/3}f)\cdot x^{-1/3}$ とみて指数 $p=3$, $q=3/2$ のヘルダーの不等式を使う: ${\int }_0^{1}fdx\le {\left({\int }_0^{1}x{f}^{3}dx\right)}^{1/3}{\left({\int }_0^1{x}^{-1/3\cdot 3/2}dx\right)}^{2/3}=1\cdot {\left({\int }_0^1{x}^{-1/2}dx\right)}^{2/3}=2^{2/3}$。等号は $f^{3}x\propto x^{-1/2}$、すなわち $f=c{x}^{-1/2}$ のとき。条件 ${\int }_0^{1}x{c}^3{x}^{-3/2}dx=c^3{\int }_0^1{x}^{-1/2}dx=2c^3=1$ より $c=2^{-1/3}$。このとき $f\in \mathcal{F}$ で ${\int }_0^{1}fdx=2^{-1/3}\cdot 2=2^{2/3}$。よって上限は最大値でもあり $M=2^{2/3}=\sqrt[3]{4}$。