測度論・実解析の問題

$g(x)=e^{-x}$ とおく。$p=3$ の共役指数は $q=\frac{3}{2}$（$\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1$）であり、
$$\Vert g{\Vert }_{3/2}^{3/2}={\int }_0^{\infty }{e}^{-3x/2}dx=\frac{2}{3},\Vert g{\Vert }_{3/2}={\left(\frac{2}{3}\right)}^{2/3}.$$
したがって $g\in L^{3/2}(0,\infty )$ であり、$f\in L^3(0,\infty )$ ならヘルダーの不等式より $fg$ は可積分で、条件の積分は意味をもつ。

下からの評価. $f\in \mathcal{A}$ に対し、ヘルダーの不等式より
$$1={\int }_0^{\infty }fgdx\le {\int }_0^{\infty }|f||g|dx\le \Vert f{\Vert }_3\Vert g{\Vert }_{3/2}=\Vert f{\Vert }_3{\left(\frac{2}{3}\right)}^{2/3}.$$
よって $\Vert f{\Vert }_3\ge {\left(\frac{3}{2}\right)}^{2/3}$ であり、3 乗して
$${\int }_0^{\infty }|f{|}^{3}dx\ge {\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}.$$

等号の条件. 上の不等式で等号が成り立つのは、(i) $fg\ge 0$ がほとんど至る所で成り立ち、(ii) ヘルダーの不等式の等号条件として $|f{|}^3$ と $|g{|}^{3/2}$ がほとんど至る所で比例するとき、すなわち $|f{|}^3=c{e}^{-3x/2}$、$|f|=c^{\prime }{e}^{-x/2}$ となるときである。$g>0$ なので (i) から $f\ge 0$。よって $f(x)=k{e}^{-x/2}$（$k>0$）の形である。

条件 ${\int }_0^{\infty }f{e}^{-x}dx=1$ から
$$k{\int }_0^{\infty }{e}^{-3x/2}dx=\frac{2k}{3}=1,k=\frac{3}{2}.$$
$f(x)=\frac{3}{2}{e}^{-x/2}$ は $L^3$ に属し $\mathcal{A}$ の元であって
$${\int }_0^{\infty }|f{|}^{3}dx=\frac{27}{8}{\int }_0^{\infty }{e}^{-3x/2}dx=\frac{27}{8}\cdot \frac{2}{3}=\frac{9}{4}.$$
したがって下限は達成され、$$m=\frac{9}{4}.$$

ヘルダーの不等式（指数 $3$ と $3/2$）より、$f\in \mathcal{A}$ に対し
$$1={\int }_0^{\infty }f{e}^{-x}dx\le {\left({\int }_0^{\infty }|f{|}^{3}dx\right)}^{1/3}{\left({\int }_0^{\infty }{e}^{-3x/2}dx\right)}^{2/3}={\left(\int |f{|}^3\right)}^{1/3}{\left(\frac{2}{3}\right)}^{2/3}.$$
よって ${\int }_0^{\infty }|f{|}^{3}dx\ge {\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}$。
等号条件は $|f{|}^3$ と $(e^{-x}{)}^{3/2}$ が比例、かつ $f\ge 0$、すなわち $f=c{e}^{-x/2}$。条件 $\int f{e}^{-x}dx=c{\int }_0^{\infty }{e}^{-3x/2}dx=\frac{2c}{3}=1$ より $c=\frac{3}{2}$。この $f$ は可測で $\int f^3=\frac{27}{8}{\int }_0^{\infty }{e}^{-3x/2}dx=\frac{27}{8}\cdot \frac{2}{3}=\frac{9}{4}$。よって下限は達成され $m=\frac{9}{4}$。
検算: $f=\frac{3}{2}{e}^{-x/2}$ のとき $\int f{e}^{-x}=\frac{3}{2}\cdot \frac{2}{3}=1$ で条件を満たす。